无界区域椭圆型和抛物型偏微分方程的人工边界条件数值方法研究

This project investigates properties and applications of the numerical methods with artificial boundary conditions for the elliptic and the parabolic partial differential equations on unbounded domains. 1) Study the numerical method of the natural boundary reduction with non-uniform meshes on artificial ellipses/ellipsoids for solving the exterior problems of anisotropic elliptic partial differential equations, obtain the a priori error estimate of the finite element solution which depends on the item number of the truncated hypersingular integral kernel series, the mesh size of descretization, the width of the artificial boundary, and the exact solution; generalize the result to the exterior problems of quasilinear elliptic partial differential equations; and discuss the proposed method by using h-adaptive, r-adaptive and hr-adaptive techniques. 2) Study the numerical method of the natural boundary reduction with non-uniform meshes on artificial circles/ellipses for solving the exterior problems of Helmholtz equation, obtain the a priori error estimate of the finite element solution which depends on the item number of the truncated hypersingular integral kernel series, the mesh size of the descretization, the width of the artificial boundary, and the exact solution; and discuss the proposed method by using h-adaptive, r-adaptive and hr-adaptive techniques. 3) Study the finite difference method for solving the exterior problems of parabolic partial differential equations with nonlocal artificial boundary conditions, obtain the stability and the error estimate of the finite difference method, and discuss the method with non-uniform meshes and the moving mesh method. 4) Study the finite difference method for solving the exterior problem of the nonlinear Burgers' equation with the nonlinear artificial boundary condition, obtain the stability and the error estimate of the finite difference method, and discuss the method with non-uniform meshes and the moving mesh method.

本项目开展椭圆型和抛物型偏微分方程外问题的人工边界条件数值方法的性质和应用研究。1)研究各向异性椭圆型偏微分方程外问题在非均匀网格椭圆、椭球人工边界上的自然边界归化法，得到有限元解依赖于超奇异积分核级数截断项数、人工边界大小、离散尺寸和准确解的先验误差估计；将结果推广到拟线性椭圆型偏微分方程外问题；并研究其h-自适应和r-自适应方法及其结合。2)研究Helmholtz方程外问题在非均匀网格圆、椭圆人工边界上的自然边界归化法，得到其离散解依赖于超奇异积分核的级数截断项数、人工边界大小、空间离散尺寸和准确解的先验误差估计；并研究其h、r-自适应法。3)研究抛物型偏微分方程外问题的整体人工边界条件差分法，得到该方法的稳定性和误差估计；研究利用非均匀网格和移动网格方法。4)研究非线性Burgers方程外问题的非线性人工边界条件差分法，得到该方法的稳定性和误差估计；研究利用非均匀网格和移动网格方法。

鉴于在物理、力学、声学、电磁学、气象学等学科领域中需要数值求解偏微分方程外问题，本项目开展椭圆型和抛物型偏微分方程外问题的人工边界条件数值方法的研究，按预定计划取得对于无界区域上各向异性椭圆型方程、Helmholtz方程、热传导方程、Burgers方程的人工边界条件法的各项研究成果，具体包括：1）研究各向异性外问题的椭圆人工边界非均匀网格上的自然边界元法及其与有限元法的耦合法，分别得到其能量模误差估计、L2模误差估计、L∞ 模误差估计和关于级数项数N、人工边界大小µ、空间离散h及解u的先验误差估计，并且研究利用后验误差估计指示子和等分布原理的h-r自适应耦合法；2）研究调和方程的混合边值外问题的利用椭圆人工边界的重叠型区域分解法和非重叠型区域分解法，得到几何收敛性和误差估计；3）研究Helmholtz方程Neumannt外边值问题的修正的自然边界元法，证明了变分问题在H1(Γ) 中存在唯一解，离散变分问题在L2(Γ) 中存在唯一解，并推出误差估计，研究基于修正的DtN边界条件的有限元方法，得到了新的依赖于网格尺寸、MDtN 边界条件的位置和MDtN 中的级数截断项数的H1− 误差估计，并得到二阶的L2− 误差估计；4）研究无界区域非齐次热传导方程的人工边界条件差分法，证明了其在能量范数下空间上2阶收敛和时间上3/2阶收敛；5）研究无界区域非齐次Burgers方程的人工边界条件差分解法，利用非线性变换将原问题转化为无界区域上线性的热传导方程，再归结为有界区域上热传导方程初边值问题，设计了差分格式，并证明它是唯一可解的、稳定的、在空间上2阶收敛和在时间上3/2阶收敛，研究利用Padé逼近、Laplace变换及其逆变换的高阶人工边界条件法，将所得的热传导方程限制在有限计算域上，证明了所得的热传导方程和Burgers方程解的稳定性；6）研究拟线性奇异摄动对流扩散边值问题的层适应网格上的混合差分格式，利用(l∞,l1)-稳定性证明了离散解和导数逼近都具有逐点的一致二阶收敛性和几乎二阶的收敛性。本项目在Appl. Math. Comput.、Appl. Numer. Math.和《计算数学》等重要期刊和论文集上共发表论文17篇，标注15篇（含5篇SCI、1篇EI、2篇核心期刊论文，2篇EI、3篇ISTP会议论文等）。培养硕士毕业生10名，其中1名考取博士生，1名成为高校教师。

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