无限维拓扑学中的强万有系统及其应用

无限维拓扑学是拓扑学的一个生机勃勃的重要分支，它与诸多数学学科有密切的联系.强万有系统是在无限维拓扑学的研究中经常使用的一种非常重要的方法，它所发挥的作用是以往所使用的其他方法无法替代的，所以对这种方法本身的研究已经成为无限维拓.扑学的研究热点之一. 本项目在课题组成员已有工作的基础上主要研究以下问题：第一，对于各种空间类或空间列（特别是3元和4元空间列）的类，研究这些类的强万有系统并利用此给出一些空间和空间列的拓扑特征. 第二，研究非紧空间的函数空间和超空间的拓扑结构. 第三，研究模糊数在各种拓扑下的拓扑结构. 第四，为满足各种应用，对以上空间给出满足一定条件的相容度量.本课题的研究内容具有图像处理、模糊数学、随机集理论等实际背景的特点，又有3元和4元空间列类的强万有系统理论研究的创新，将会促进国内拓扑发展比较薄弱的分支- - -无限维拓扑学的进一步发展.

本项目研究的核心是用无限维拓扑学的手段给出非紧空间的函数空间和超空间的拓扑结构，即证明在各种自然的拓扑下，各种函数空间和超空间以及与它们的子空间组成的组同胚于一些典型的空间组，例如，Hilbert 方体和Hilbert 空间等。我们完全给出了局部紧度量空间的上半连续空间和连续函数空间在Fell拓扑下的拓扑结构，证明了这个空间对同胚于(Q, c0)或者(Q, c0∪(Q\Σ))，其中，Q 是可数多个闭区间 [-1,1] 的乘积，c0 是其中收敛于0的数列，Σ 其中绝对值的上确界小于1的数列。我们给出了在Hausdorff度量拓扑下，上半连续函数空间同胚于可分Hilbert空间和不可分Hilbert空间的条件。我们还给出在一种自然的拓扑下，支撑包含于欧氏空间Rn的凸子空间X的模糊数空间同胚于Q（当X是紧的时候）或者Σ（当X是非紧局部紧的时候）。在反射闭集族的研究方面，我们给出在一些特殊情况下，一个闭集族是反射的充分必要条件。现在已有学者在继续我们的本项工作研究。在映射构造方面，建立了中紧性，序列中紧性与连续选择之间的关系，发展了Michael的经典方法。讨论了度量空间在有限子序列覆盖映射下的性质，从而解决了相关的两个公开问题。我们给出了模糊数值函数空间的性质及其在模糊推理中的应用。在模糊拓扑学的研究中，我们主要在L-模糊拓扑空间中，借助L-模糊开集和近似开集的不等式引入了几乎紧性、可数SP-紧性、强II型Nb 紧性与SSP-闭性与SP-Lindeloff集的等概念，给出了α-网、α-滤子、r-覆盖等多种刻画。在广义拓扑空间的研究方面，引入了广义α-连续和广义α-不定函数的概念，研究了在这些映射下连通性、强连通性、α-分离性、紧性、α-紧性等广义拓扑性质的保持性。此外，在一般拓扑空间中引入了两类新空间——B-闭空间与强极不连通空间，B-闭空间是介于S-闭空间和H(i) 空间之间的一类空间，在强极不连通空间中，紧空间、B-闭空间、S-闭空间、H(i) 空间是彼此等价的。.共发表论文28篇，其中SCI论文4篇，EI 论文7篇。培养硕士研究生15名，博士研究生1名。

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