用于量子计算的一类代数问题研究

Quantum technology has brought exciting prospects and hopes for the next scientific and technological revolution, and quantum information science has achieved some encouraging results both in theory and in experiment. However, there are still a lot of theoretical work to be solved, among which a mathematical problem closely related to quantum compuation is the judgment or classification of local unitary equivalence of multipartite quantum states. In this project, we mainly use algebraic methods, such as group theory, symmetric group, Lie group and the representation of Lie algebra, to study the invariant problem of local unitary equivalence. Specifically, 1. Construct the complete set of local unitary equivalent invariants for bipartite quantum mixed states; 2. Construct the complete set of local unitary equivalent invariants for n-qubit mixed states; 3. Discuss the complete set of local unitary equivalent invariants for general quantum states. Our goal is to solve the local unitary equivalence problems for bipartite high-dimensional and multipartite quantum states in quantum information by constructing local unitaryequivalence invariant complete sets. These provide theoretical support for quantum computation.

量子科技为下次科技革命带来激动人心的前景与希望，量子信息学在理论与试验中都取得了一些鼓舞人心的成果。但是还有大量的理论工作没有解决，其中和量子计算关系密切的一个数学问题就是多体量子态的局部酉等价判断或分类。本项目我们主要通过利用代数的方法，如群论、对称群、李群、李代数的表示等来研究局部酉等价的不变量问题。具体地，1、构造两体量子混合态的局部酉等价不变量完全集；2、构造n-量子比特混合态的局部酉等价完全集；3、探讨一般多体量子态局部酉等价不变量的完全集。通过构造各量子态局部酉等价的不变量完全集进而解决量子信息中两体高维及多体量子态的局部等价问题，这些会为量子计算提供理论基础。

量子科技为下次科技革命带来激动人心的前景与希望，量子信息学在理论与试验中都取得了一些鼓舞人心的成果。本项目聚焦量子信息中的一些基础问题，取得如下成果。一、在一般多体量子态的局域酉等价及SLOCC等价方面，我们对多体系量子态的密度矩阵利用CP分解，给出了两个纯态SLOCC等价的充分必要条件，LU等价的充分必要条件，并将结果推广到混合态。二、我们把量子态利用Weyl基进行Bloch展开，给出量子纠缠新的判断，我们利用矩阵重排运动，给出量子纠缠的新的判断方法等。三、我们利用两种隐性传态方案给出了相应的量子代理签名方案。四、我们基于一种特殊测量算子，探究了两体高维量子态在双边测量下量子非局域性不可分析性等。这些问题的解决会为量子计算提供理论基础。

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