有限交换环的不动点动力系统理论研究

An important problem in the theory of finite dynamical systems is to link the structure of a system with its dynamics. This project contains such a link for a family of fixed point dynamical systems over an arbitrary finite commutative ring R. We focus on the conditions for a linear or monomial dynamical system f: R×…×R →R×…×R to have only fixed points as limit cycles. Moreover, one of the research contents of this project is classifying the ring R which can induce a linear or monomial fixed point dynamical system, according to the character of R, the number of elements, idempotents and nilpotents. We would also research the number and lengths of cycles and the lengths of orbits for some special linear and monomial dynamical systems over R. We hope we can find the connection between the linear dynamical systems and monomial dynamical systems over R. Furthermore, we would investigate the in-degree, the number of components, heights, symmetries of the digraph of a given ring under the fixed point dynamical. If we can achieve our planned goals, it will be possible to extend the results on the dynamical systems over finite fields. Hence, it will contribute to the theories of fixed point dynamical systems over finite commutative rings. Moreover, the work will be important for both algebra and discrete dynamical systems.

有限动力系统理论的一个重要研究问题是将某个系统的结构与作用在其上的动力联系起来。本项目主要研究有限交换环上的不动点动力系统理论，包括确定线性和单项式动力系统 f: R×…×R →R×…×R 为不动点系统的判定条件，并且，从环的特征、元素个数及幂等元、幂零元等方面刻画环上的线性或单项式动力系统为不动点系统的条件。进一步地，给出环上的线性及单项式动力系统中所有圈的数目、圈的长度、轨道的长度以及元素位于圈上的条件等，并希望由此讨论R×…×R 上的单项式动力系统与线性动力系统的联系。利用图论方法研究R×…×R 上的不动点动力系统有向图结构，主要考虑一些特殊顶点的入度、图的分支数、高度、正则性、半正则性、对称性以及图同构与环同构的关系等。从而推广有限域上的动力系统的结论，并建立较完备的有限交换环的不动点动力系统理论，这些研究将在代数学及离散动力系统中具有重要的理论意义。

有限动力系统在很多方面都有应用及研究，如序列网络、模线性系统、控制网络、神经网络、基因网络。 在动力系统中，比较重要的一个问题是关于线性不动点动力系统。 在本项目研究中，我们获得了有限交换环上的线性动力系统为不动点系统的充要条件，并进一步分析了由环的自同构确定的动力系统的圈结构，同时给出了一个计算圈长及圈数的方法。另一方面，我们将整数剩余类环上的幂映射图的有关结论推广到有限交换环上，并建立了有限交换群的两个幂映射图同构的充要条件。为了更深入地研究环上的动力系统，我们确定了有理数域二次扩域的整数环的商环的单位群的结构，以及伽罗华环的高斯扩张的单位群。获得了李代数及李超代数的 Cartan 矩阵的逆矩阵的具体形式，给出了交换环上的所有矩阵均能分解成三个幂等矩阵之和或三个对合矩阵之和的等价条件。另外，我们完全刻画了有限交换群与有限域构成的群环在什么情况下可以成为一个 *-clean 环。并且，证明了 Jacobson 引理对于nil-clean 元在某些环中不成立，证明了nil-clean元和单位正则元在某些环中并不是clean 元。同时，我们对于环的单位图和单位 Cayley 图也进行了研究，获得了环的单位图为平面图的判断条件，并对于单位 Cayley 图的直径为1，2，3或无穷的环进行了分类。

内容获取失败，请点击重试