拟线性薛定谔方程驻波解的相关问题研究

Several physical situations such as plasma physics, fluid mechanics, dissipative quantum mechanics and condensed matter theory are described by the quasilinear Schrodinger equations. The study of the standing wave solution of quasilinear Schrodinger equations has important significance in theory and application. This project will study two types of quasilinear Schrodinger equations: one is the nonlocal nonlinear Schrodinger equation which models the theory of plasma physics superfluid; the other is the relativistic quasilinear Schrodinger equation which is used in the self-channeling of a high-power ultra short laser in matter. This poject is focused on the existence and stability of the standing wave solutions, the research content includes: 1. We consider the existence and stability of the standing wave solutions for the nonlocal nonlinear Schrodinger equation, including the existence of positive solutions or multiple solutions, and the stability of the standing wave solutions; 2. We explore the contraint minimizers of the nonlocal nonlinear Schrodinger equation, and study their existence, collapse and symmetry-breaking. 3.We analyze the existence and stability of the standing wave of the relativistic nonlinear Schrodinger equation, and discuss the existence of positive solutions and multiple solutions.Investigating deeply these variational problems cannot only contribute to deepening our understanding of physical models, but also contribute to expanding the new application ranges of critical point theory in nonlinear functional analysis.

等离子物理、流体力学、耗散量子力学、Heisenberg铁磁体及凝聚态理论等物理模型均可用拟线性薛定谔方程来描述，因此关于拟线性薛定谔方程驻波解的研究有着重要的理论及应用意义。本项目将主要研究两类拟线性薛定谔方程：一类是来自等离子物理中的带非局部非线性项薛定谔方程；另一类是来源于高功率超短激光物质中的相对非线性薛定谔方程。主要研究其驻波解的存在性和稳定性等，具体内容包括:1.研究带非局部非线性项薛定谔方程驻波解的存在性和稳定性，包括正解和多解的存在性，以及驻波解的稳定性；2.探索带非局部非线性项薛定谔方程泛函极小化问题，包括泛函极小的存在性、坍塌性和对称破缺性等；3.分析相对非线性薛定谔方程驻波解的存在性以及稳定性，包括临界情形下正解和多解的存在性等。这些变分问题的深入研究，不仅可以帮助我们加深对拟线性薛定谔方程物理模型的理解，而且有助于促进非线性泛函分析中诸如临界点理论的新应用。

拟线性薛定谔方程来源于等离子物理、流体力学、耗散量子力学、Heisenberg 铁磁体及凝聚态理论等物理模型，针对不同的形式有相应的物理模型，具有非常重要的理论及应用意义。本项目主要研究几类带非局部项的拟线性偏微分方程，具体研究：（1）驻波解的存在性和多重性以及解的渐近行为；（2）驻波解满足的方程对应泛函极小化问题解的存在性及其相关性质；（3）柯西问题解的局部适定性等。在驻波解的存在性及解的渐近行为方面，共发表SCI论文6篇，中文核心论文2篇，投稿SCI论文1篇，得到了非线性项满足次临界和临界情形下解的存在性，并考虑了非局部项系数趋于零时的极限行为，进一步利用变分理论和拓扑度的方法得到了径向变号解的存在性。特别当相对非线性薛定谔方程非线性项含二次根式时得到了3维情形下正解的存在性，部分回答了文献[M.Colin, Adv. Differ. Equ. 2003 (8)：1-28]中的一个开问题。在极小解的存在性及相关性质方面，共发表SCI论文4篇，投稿SCI论文1篇，对于几类非线性薛定谔方程，针对非线性指数与极小解的存在性关系给了一个完整的分类，并对于部分基态解给出了唯一性的证明，进一步研究了极小解的渐近行为。在适定性方面发表SCI论文3篇，投稿2篇，通过构造新的空间，确立新的双线性估计，分别得到了浅水波方程柯西问题一维和高维情形下某些条件的局部适定性，在一维和高维的情形分别改进了文献 [Himonas and Misiolek, Commun. Partial Diff. Equ. 23(1998), 123-139]的结果。

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