拟共形一致化Gromov双曲空间理论在John度量空间中的一些应用

结题报告

项目介绍

AI项目解读

基本信息

批准号：
11901090
项目类别：
青年科学基金项目
资助金额：
27.0万
负责人：
周青山
依托单位：
佛山科学技术学院
学科分类：
A0201.单复变函数论
结题年份：
2022
批准年份：
2019
项目状态：
已结题
起止时间：
2020-01-01 至2022-12-31

项目参与者：
--
关键词：
高维拟共形映射 John度量空间拟Mobius映射拟对称映射 Gromov双曲空间

项目摘要

The theory of quasiconformal mapping and Gromov hyperbolic spaces plays an important role in different fields, such as fractal geometry, Cannon conjecture and Kapovich-Kleiner conjecture in hyperbolic groups, quasi-isometric rigidity of Lie groups. The main aim of this project is to study the applications of quasiconformal uniformizing Gromov hyperbolic spaces theory found by Bonk,Heinonen and Koskela on John metric spaces. Combining quasiconformal mapping theory with Gromov hyperbolic spaces theory, we shall explain some results concerning geometric function theory from the negative curvature in the sense of Gromov and provide a new method for studying related questions. The main content of this project is the following: We shall first apply quasiconformal uniformizing Gromov hyperbolic spaces theory to discuss the geometric properties of quasihyperbolic geodesics on Gromov hyperbolic John spaces，we aim to search for dimension-free results on Euclidean spaces and generalize to general metric spaces. Then we will study the relationship between Gromov hyperbolic John spaces and uniform spaces by virtue of conformal modulus. Finally, we shall investigate the relationship between quasiconformal, quasimobius and quasisymmetric maps on John spaces and uniform spaces.

拟共形映射和Gromov双曲空间理论在分形几何、双曲群中的Cannon猜测和Kapovich-Kleiner猜测、Lie群的拟等距刚性问题等领域的研究中具有重要的作用。本项目主要研究Bonk,Heinonen和Koskela建立的拟共形一致化Gromov双曲空间理论在John度量空间中的一些应用，将拟共形映射与Gromov双曲空间理论结合起来，从Gromov意义下的负曲率性理解几何函数论，为相关问题的研究提供一种新的思路。主要研究内容如下:借助拟共形一致化Gromov双曲空间理论，我们首先讨论Gromov双曲John空间中拟双曲测地线的几何性质，探索欧氏空间中与维数无关的结论，并推广到一般度量空间。其次，我们计划利用共形模等工具研究Gromov双曲John度量空间与一致度量空间的关系。最后，我们将讨论John度量空间与一致度量空间上的拟共形映射、拟对称映射以及拟Mobius映射之间的关系。

结项摘要

拟共形映射和Gromov双曲空间理论在分形几何、双曲群中的Cannon猜测和Kapovich-Kleiner猜测、Lie群的拟等距刚性问题等领域的研究中具有重要的作用。本项目主要研究Bonk,Heinonen和Koskela建立的拟共形一致化Gromov双曲空间理论在John度量空间中的一些应用，将拟共形映射与Gromov双曲空间理论结合起来，从Gromov意义下的负曲率性理解几何函数论，为相关问题的研究提供一种新的思路。..项目进展顺利，发表期刊论文19篇，取得如下重要成果：..我们首先得到了拟双曲John空间的几何刻画，在一般度量空间肯定回答了Heinonen提出的公开问题；研究了拟共形映射在Gromov双曲区域的Teichmuller位移问题；从拟双曲几何和Gromov双曲空间理论的角度，讨论了拟共形映射在John区域和Holder区域的性质；通过建立区域的Gromov双曲性与边界对应、一致性、极小极大性质、直径型一致性等几何性质的等价关系，完全解决和部分解决回答了Vaisala提出的两个公开问题；建立了复区域Kobayashi测地线的Gehring-Hayman定理并用以研究双全纯映射的边界Holder连续性；讨论了拟凸度量空间中拟双曲映射的局部性质，部分回答了刘劲松教授和黄小军教授提出的一个公开问题。..本项目的顺利完成，建立了Gromov双曲空间理论与度量空间分析、拟共形几何、复区域的几何函数理论等之间的联系，提供新的研究思路尝试解决度量空间拟共形映射理论中一些遗留的公开问题。