s-fan 可分组设计及其应用

The three-wise balanced designs are very important in design theory and there are high-value applications in Coding theory and Cryptography. And it is well-known that s-fan group divisible design is one crucial part of three-wise balanced designs, and it can be used in recursive constructions for building other combinatorial structures of various properties. Here the purpose of this plan is to study the construction methods of the s-fan group divisible designs, then try to determine the spectrum of some 1-fan H designs, and then give some infinite classes of the s-fan group divisible designs with block sizes three, four and five. Next, utilizing the proposed results to construct several candelabra systems and partially balanced 3-design, so that we try to partly solve the open problem proposed by Hartman and Phelps in 1992. Furthermore, we will construct some key distribution schemes for the wireless sensor networks on combinatorial designs. These schemes can not only enhance the security, but also can enlarge the key space.

3-设计是组合设计理论的重要研究对象，在编码与密码等方面有着很重要的应用。s-fan可分组设计是3-设计中主要的一类设计，也是构作其它相关设计的基础。本项目将研究 s-fan 可分组设计的构造方法，确定某些组长较小的1-fan H 设计的存在谱，得到一些区组长度为 3、4和 5 的 s-fan 可分组设计的无穷类，进而用它们构作若干烛台型设计和一些部分 3-设计，从而部分的解决Hartman 和phelps 在 1992 年提出的一个研究问题。在此基础上，建立一些基于组合设计方法的无线传感器网络的密钥分配方案，这些方案在节点密钥组物理长度不变的前提下，不仅能扩大密钥共享空间，而且能极大提高安全强度，具有很高的应用价值。

s-fan设计是3-设计中非常重要的一类设计，对相关设计的构造有着很重要的意义。本项目主要研究s-fan设计及其在组合设计领域和编码理论方面的应用。. 众所周知，s-fan设计的构做是非常困难的，主要在于两点：1、由于设计本身要求较高，小参数设计不容易通过计算机搜索得到；2、缺少有效的递推构造方法。因此关于s-fan设计的相关结论很少。目前已知结果主要集中在组数为4或者组长为1的情形。项目实施期间，我们首先改进搜索算法，得到若干小参数设计。其次，我们探索递推构造方法，推广了Wilson的加权构造，得到“n倍构作法”，成功的引入s-fan H frame的概念，并由此得到若干递推构造方法。最终，我们得到了关于g/2-fan H(6, g, 4, 3)比较完整的结论，同时得到了1-fan H(n, 2, 4, 3)的两个无穷类。这些结果丰富了s-fan设计的成果，对于相关设计的构做，比如组长不等的可分组3-设计、3BD闭集以及烛台型设计的构造有着很好地帮助。 . 与此同时，我们对双可分解3-设计的研究也取得一定进展。双可分解设计具有很长的研究历史，目前绝大多数研究集中在2-设计上。由于双可分解3-设计的构造的困难，已知结果极少，目前只有零星的结论，还没有无穷类的出现。我们在文中给出的关于双可分解斯坦纳四元系，是第一个关于该设计的无穷类。另外，我们首次给出了关于双可分解H设计的相关结论。

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