基于空间分解方法的Hamilton算子矩阵及其应用研究

Hamiltonian systems can be used to characterize almost all meaningful conservation systems in physics, while the theory of operator matrices is a recently developed new research direction. Combining Hamiltonian systems with operator matrices, we deal with the invertibility problem, the essential spectrum, the numerical range and the semigroup property of Hamiltonian operator matrices (HOMs) and their applications in elasticity and mathematical physics, based on the space decomposition method. To be precise, combining the space decomposition method with the structural features of HOMs, we solve the invertibility of HOMs, and extend it to the case of Dirac operator playing an important role in mathematical physics. Using the space decomposition method and the resolvent expansion method, we consider the generalized invertibility of HOMs, and study the expression of generalized inverse for HOMs and its applications in Hamiltonian systems. We investigate the numerical range, the quadratic numerical range and the block numerical range of HOMs, characterize the spectral distribution of HOMs, and then we further study the generation theorem of semigroups for HOMs. Finally, we closely connect the above research with the problems from elasticity and mathematical physics, such as the plane elasticity, the plate bending problem and the electromagnetic field theory. In doing so, we may explore new ways of solving nonselfadjoint problems, and promote the development of the theory of nonselfadjoint operators, especially that of HOMs.

Hamilton系统表征几乎所有物理上有意义的守恒系统，而算子矩阵是最近发展起来的新方向，本项目将Hamilton系统和算子矩阵相结合，基于空间分解方法研究Hamilton算子矩阵的可逆性问题、本质谱刻画、数值域与半群性质，以及它们在弹性力学和数学物理问题中的应用。具体地，结合Hamilton算子矩阵的结构特性解决其可逆性，并拓展到数学物理问题中起重要作用的Dirac算子；结合预解式展开方法探讨Hamilton算子矩阵的广义可逆性，研究广义逆表示及其在Hamilton 系统中的应用；考察Hamilton算子矩阵的数值域、二次数值域和块数值域，刻画其谱分布，基此研究半群生成定理；最后，将上述内容与平面弹性、板弯曲、电磁场理论等弹性力学和数学物理问题紧密联系起来，发展解决非自伴问题的新方法，促进非自伴算子理论，特别是Hamilton算子矩阵理论的发展。

Hamilton系统表征几乎所有物理上有意义的守恒系统，而算子矩阵是最近发展起来的新方向。本项目将Hamilton系统和算子矩阵相结合，综合运用空间分解、行算子和非紧算子的性质等方法和工具研究Hamilton算子矩阵的可逆性、Fredholm理论、数值域和二次数值域、半群性质，以及它们在弹性理论和数学物理中的应用。主要结果如下：(1)针对Halmos的可逆性问题，给出了一般四块算子矩阵可逆的充分必要条件，反馈于Hamilton情形发现所涉及的空间变得十分简明。(2)研究了无界上三角算子矩阵的本质谱、Weyl谱和Browder谱的填洞型结果，得到若干Weyl型定理之间等价的充分必要条件，并将有关结果拓展到Hamilton情形。(3)解决了一般四块算子矩阵的Weyl补问题，该问题是许多国内外学者试图解决的，作为应用还解决了相关的谱配置问题，并给出了包含非紧算子的许多有趣的例子。(4)研究了上三角算子矩阵谱的自伴补问题，基此最终解决了上三角Hamilton算子矩阵的(左)右Weyl谱、Weyl谱、(左)右本质谱、本质谱的扰动。(5)研究了上三角算子矩阵的Moore-Penrose可逆性和Fredholm性，考察了反三角算子矩阵的Drazin逆表示，为求解二阶微分系统提供新途径。(6)系统地研究了Hamilton算子的半群生成性质，内容涉及数值域和二次数值域的谱包含性质、耗散性和半群生成定理，并运用算子半群方法研究了一些弹性力学和数学物理问题的解析解法。(7)研究了一大类Hamilton算子的特征值问题，并将辛方法引入准晶弹性的研究中，为钟万勰院士开创的弹性力学求解新体系提供理论依据。同行专家认为，有关结果具有原创性、启发性和挑战性，将为Fredholm理论做出贡献，并且有可能成为现有文献的受欢迎的补充。项目组在Math. Nachr.、Linear Algebra Appl.等国内外重要的学术期刊发表学术论文33篇，其中SCI论文14篇，并与德国TU Ilmenau的C. Trunk教授合作申请到德国科学基金(DFG)支持的国际合作项目。参加了IWOTA2018等13个国际国内学术会议，并作学术报告16人次。项目主持人入选内蒙古自治区“草原英才”和“新世纪321人才工程”一层次。

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