有限W-（超）代数与基本典型李超代数的模表示理论

In this subject we will consider finite W-(super)algebras and the related modular representation theory of basic classical Lie superalgebras..(1) On finite W-algebras, we will construct baby-Verma modules for reduced W-algebras in positive characteristic. Then we will discuss the representation theory of finite W-algebras associated to nilpotent elements of standard Levi form..(2) We will give an explicit description of finite W-superalgebras associated with the regular and minimal nilpotent orbits. In virtue of these, we will show that the lower-bounds in the modular representations of basic classical Lie superalgebras given by Wang-Zhao, known as the super Kac-Weisfeiler property, are attainable. Consider the sturucture and representation theory of finite W-superalgebras associated with general nilpotent orbits. Discuss the higher level Schur-Weyl duality between finite W-superalgebras and a certain kind of degenerated affine superalgebras..(3) We will construct the highest weight mudules of finite W-superalgebras, and also whose BGG category. In virtue of which, we will consider the irreducible modules of these algebras. All the above lay foundations for the related research on the modular representation theory of Lie superalgebras.

本项目将对有限W-(超)代数及与其相关联的基本典型李超代数模表示理论进行研究。.(1)在有限W-代数方面，侧重于对素特征域上约化W-代数的baby-Verma模的构作，以及对应的幂零元素结合不同Standard Levi form时其表示理论的研究。.(2)对复数域上一般情况下结合正则幂零和极小幂零轨道时有限W-超代数的结构分别进行细致刻画，并通过模约化过程定义到素特征域，证明Wang-Zhao给出的基本典型李超代数模表示的超Kac-Weisfeiler性质中的维数下界，在此种情况下是可达的。探讨一般幂零轨道下有限W-超代数的结构和表示理论。建立有限W-超代数与某类退化仿射超代数之间的高阶Schur-Weyl对偶。.(3)在复数域上定义有限W-超代数的最高权模，并对其有限维不可约表示的结构及其相互关系进行系统的研究；定义有限W-超代数BGG范畴，为今后对李超代数模表示的相关研究奠定基础。

本项目是对基本典型李（超）代数的有限W-（超）代数的结构及其表示等相关理论的研究。在有限W-代数方面，本项目给出了典型李代数sl_2的约化包络代数的中心以及相应的约化W-代数的多项式实现。对于半单李代数，研究了有限W-代数及其子代数的环论性质，得到了素特征域上有限W-代数中心的具体结构以及相应的Veldkamp定理。在有限W-超代数方面，本项目给出了A型结合满足某些限制条件的Jordan型的幂零元素的有限W-超代数1维模的构造。对于基本典型李超代数，给出了极小有限及改良W-超代数这两类代数的生成元和关系式的具体刻画，并进一步证明了极小改良W-超代数存在1维模，从而证明了在此情形下，Kac-Weisfeiler模是存在的。本项目还给出了极小有限及改良W-超代数的最高权模。得到了Vust定理的超版本，给出了退化分圆Hecke代数与A型主有限W-超代数之间存在Schur-Sergeev对偶一种新的证明方法。除此之外，本项目还给出了一类特殊形式整数h∙2^n±1的素性判定算法，其中h<2^n为奇数，n为任意正整数；算法的时间复杂性为确定性拟二次多项式时间。这些结果的得出，丰富了有限W-(超)代数理论，以及素特征域上与之关联的基本典型李超代数模表示的理论，也为其它相关理论的后续发展树立了稳固的基石。

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