拟周期薛定谔算子谱理论的动力系统方法

The spectral theory of quasiperiodic Schrodinger operators is a hotspot in recent research on physics and mathematics, and many outstanding scholars, including some Noble, Wolf and Fields medal prize winners are involved in the field. One dimensional quasiperiodic Schrodinger operators is equivalent to a dynamical system, named quasiperiodic Schrodinger cocycle. From properties of Schrodinger cocycle, many information can be obtained on spectrum of Schrodinger operators, and the knowledge on Lyapunov exponent are most important. For C2-cos-type model proposed by Wolf Prize winner Y. Sinai, we proposed a new method, with which we obtained a series of properties on Lyapunov exponent as well as Cantor structure of spectrum. In this program, we will continue to study the properties of Lyapunov exponent and then improve the spectral theory of quasiperiodic Schrodinger operators. More precisely, we will study the following problems: (i)(open problem) For any fixed Diophantine frequency, Anderson localization occurs under an analytic condition; (ii) (An open problem by Fields metal winner A. Avila) The coexistence of various accelerations under an analytic conditions; (iii) Study the positivity and regularity of Lyapunov exponent and topological structure of spectrum under a general smooth condition; (iv) Study the regularity of Lyapunov exponent and Anderson localization under a monotonic condition; (v) The uniqueness of cosine potential in the sense of the special property of Lyapunov exponent.

拟周期薛定谔算子谱理论是近年来物理和数学研究的热点，吸引了一批诺贝尔奖，沃尔夫奖和菲尔茨奖得主等著名学者参与研究。其中一维情形可表述为拟周期薛定谔cocycle动力系统，从薛定谔cocycle的性质出发可以得到薛定谔算子谱的大量信息，其中李亚普诺夫指数的性质尤为重要。在沃尔夫奖得主Y.Sinai提出的cos-type模型中，我们提出了新方法，得到了有关指数的一系列性质和算子谱的Cantor结构。本项目我们将进一步发展我们的方法以改进拟周期薛定谔算子谱理论，包括 (i)公开问题：对指定的丢番图频率，证明解析算子的Anderson局域化;(ii) 菲尔兹奖得主A.Avila的公开问题：解析条件下不同指数加速子的共存性;(iii)对一般光滑情形研究指数的正性和正则性以及谱集合的拓扑结构,(iv) 单调位势情形中指数的正则性和算子的Anderson局域化；(iv) 指数性质上余弦位势的唯一性。

薛定谔算子谱理论有很强的物理背景，最早由诺奖得主P.Anderson用于研究材料的导电性。其中拟周期薛定谔算子对应于和诺奖有关的准晶体, 因其具有微妙复杂的性质，数学家同样给予高度关注, 包括如沃尔夫奖得主J. Moser和Y. Sinai以及菲尔兹奖得主J. Bourgain和A. Avila和美国院士S. Jitomirskaya等。在解析条件下数学家们取得到了一系列突破性成果，尤其是严格证明了相变的发生，从而完美揭示了准晶体导电性的独特性，引起了物理界的高度关注。在这些成果中，李亚普诺夫指数的正性和正则性扮演关键角色。 因为由诺贝尔奖得主Thouless所建立的Thouless公式建立了李雅普诺夫指数和重要物理量IDS之间的关系, 由此可以得到算子谱的大多数信息。..项目资助期间，我们在拟周期薛定谔算子谱方面取得了以下成果。.1. 证明了在无穷可微拓扑下， 存在具有正指数的拟周期薛定谔cocycle，可在小扰动下得到零指数的拟周期薛定谔cocycle。该结果表明非解析情形中李亚普诺夫指数正性的不稳定性，这和Bourgain等得到的解析情形中指数正性的稳定性完全不同。该结果2018年发表在Comm. Math. Phy.上。.2. 证明了大耦合类余弦薛定谔cocycle的 指数具有1/2-Holder连续性和绝对连续性，并具有dry version的Cantor 谱。该该结果得到了美国院士Jitomirskaya的好评。.3. 构造反例证明解析拟周期薛定谔cocycle的指数没有一致的Holder正则性， 从而回答了菲尔兹奖得主Avila关于解析情形下指数是否都能达到1/2-Holder正则性的问题。.4.证明了当Gervery参数s>2时，Gervery类型的（大耦合）拟周期薛定谔cocycle指数可以不连续，从而结合已有结果对指数连续性所需的位势光滑性条件得到了一个最佳刻画。..在Duffing方程有界性方向上，我们也取得了若干成果：.5.得到了一类非周期平面Duffing方程的有界解和无界解的闭性的刻画，发表在J. Diff. Eq.上。.6.对一类临界共振型半线性Duffing方程，给出了其任一解有界的充要条件，发表在J. Diff. Eq.上。..在耦合混沌系统方向上，我们得到了：.7. 证明了耦合帐篷映射存在着同步和非同步的相变，发表在ATA上。

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