研究 DNA 超分子结构的新数学方法

DNA supermolecules are very important target molecules in both of chemical and biological research. The experimental study of these 3D nanostructures is one of the fast-moving fronts. In this context, how to enunciate mathematical structures of these novel self-assembly molecules from a theoretical point of view is especially important. These researches will not only help understanding biological properties of DNA supermolecules, but provide theoretical guide for the synthesis of a diverse array of them. However, the study for mathematical structures of DNA supermolecules still is in primary stage. Hence the project proposed herein aims at developing the new mathematical theory for characterizing and describing their structures, especially the polyhedral structures of new recently synthesized supermolecules. Noticeably, a new mathematical model, termed as rigid-vertex polyhedral link, is introduced in this project. The new model not only keeps the rigidity of some parts of DNA supermolecules but also contains the flexibility of DNA chains, covering all major features of the structures of.supermolecular polyhedrons. Furthermore, for the first time, the relationship between synthetic strategy and the structures of supermolecules will be described in this project from a mathematical point of view. Also, a series of invariants of some new polyhedral links, such as component number, polynomial invariants, genus and so on, will be established here. These researches will be served as a powerful tool for distinguishing the chiral DNA supermolecules, classifying their structures and analyzing their complexity.

DNA 超分子具有非常重要的化学和生物学意义，其三维纳米结构的实验研究是目前一个快速发展的科学前沿和焦点，如何从理论的角度来阐述这种新形式的自组装分子的数学结构显得尤为重要。这些研究不仅有助于理解 DNA 超分子的生物特性，而且为拓展这些分子的结构多样性以及合成策略提供了理论指导。尽管如此，目前对 DNA 超分子的数学研究仍然处于初级阶段，因此，本申请课题将致力于发展新的数学理论来刻划和描述它们的结构形貌，特别是近期合成的超分子的多面体结构。值得注意的是，该课题提出了一种新的数学模型，即刚性点多面体链环，它既保留了DNA 超分子局部刚性的特征又允许了DNA链拓扑灵活性的存在，涵盖了超分子多面体结构的主要特点。本项目将首次研究合成方法与超分子结构的数学联系，并建立一些新链环的不变量，如分支数、多项式、亏格等，这些研究将为 DNA 超分子的手性辨别、分子结构的分类以及复杂性分析提供有力的工具。

我们提出了基于线生成的 DNA 超分子多面体拓扑结构组装的一般性方法，建立了允许边有奇叉数存在的有向多面体链环模型。然后，通过提出链环不变量 HOMFLY 多项式的新算法并同其它的不变量如分支数，交叉数和拧数，进而对 DNA 超分子多面体进行了手性辨别和结构分类。主要体现在以下三个系列的工作中：1）对于 DNA 超分子四面体，我们计算得到了26种类型的有向四面体链环作为其拓扑结构。通过计算相关的不变量包括交叉数，分支数和拧数以及建立10种有向四面体链环的含边扭转数 n 为参量的 HOMFLY 多项式关于变量 z 的最好小次项公式，进而证明了具有手性特征的有向四面体链环有22种类型和具有非手性特征的有向四面体链环为剩下的4种类型，这其中包含12对镜像链环。2）对于 DNA 超分子三棱柱，我们计算得到了366种类型的三棱柱链环作为其拓扑结构。通过计算相关的不变量包括交叉数，分支数和拧数以及建立77种三棱柱链环的含边扭转数 n 为参量的 HOMFLY 多项式关于变量 z 的最小次项公式，我们证明了这366种链环皆具有手性特征，这其中包含了100对的对称性链环。3）对于 DNA 超分子三角双锥，我们计算得到了453种类型的三角双锥链环作为其拓扑结构。在这里，我们通过设计一个 C 语言程序计算了三角双锥分子的所有拓扑构型，并且从生成的三角双锥链环中去掉了所有重复性的结构。并且，在此提出了基链环的概念，它们满足任意有向三角双锥链环的 HOMFLY 多项式都可以通过收集一些基链环的 HOMFLY 多项式而得到。按照该方法，我们设计了一个 C 语言程序，首次计算给出106种偶三角双锥链环的含边扭转数 n 为参量的 HOMFLY 多项式。我们结果表明,对于任意 n (1≤n≤6), 至少存在一种具有 n 个分支的、可调节边长度的且满足每条边由两个反平行定向且相互扭曲的线组成的有向多面体链环。这些研究为进一步合成具有特定拓扑结构和手性的 DNA 超分子多面体提供了候选对象与理论基础。

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