超高维函数型数据分析中的若干问题

Due to the prevalence of functional data, it has gradually become one of the focuses of statistical research, especially in the area of regression modeling and its associated statistical inference. Nevertheless, most literature on partially functional regression models involve only one or a finite number of functional predictors, while hypothesis testing is often unavailable. In reality, however, the interpreted variable is potentially affected by both an ultra-high-dimensional functional predictors and an ultra-high-dimensional scalar regressors. This makes the traditional methods infeasible. To fill this gap, this project intends to study a variety of representative ultra-high-dimensional partially functional models from both theoretical and applied aspects, including the ultra-high-dimensional partially functional linear model, the ultra-high-dimensional partially functional generalized linear model, the ultra-high-dimensional partially functional quantile model with nonparametric statistical features, and so forth. Regarding the theoretical part, we will demonstrate the large sample consistencies of both regression estimates and statistical inferences for each model under mild conditions. In terms of application, without loss of generality, we apply the proposed regression and testing methods to both the simulated data and the real public health data to demonstrate their favorable performances.

函数型数据的广泛存在使它逐渐成为统计学研究的焦点之一，尤其是基于函数型数据的建模回归和统计推断。传统的函数型或部分函数型回归通常仅允许有限个函数型自变量，且大多不涉及假设检验。然而现实中，被解释变量通常同时受超高维函数型自变量和超高维普通自变量的影响，这使得传统方法无所适从。为填补这一空白，本课题拟从理论和应用两方面出发研究多种具有代表性的超高维部分函数型模型，包括超高维部分函数型线性模型、超高维部分函数型广义线性模型以及具有非参数统计特征的超高维部分函数型分位数模型等。在理论方面，我们将论证各个模型的回归估计及统计推断的大样本相合性。在应用方面，不失一般性，我们将相关超高维部分函数型模型的回归和检验方法运用于超高维计算机模拟数据以及真实的超高维公共卫生数据以映证其高效性与准确性。

在本项目的资助下，主要研究了超高维函数型数据分析以及半超高维函数型数据分析的相关问题，取得了若干项重要成果。例如负责人首先从理论和实际应用角度研究并总结了“超高维函数型数据线性回归模型的统计推断方法”，该种方法为处理实践中常见的独立同分布误差情况下的超高维函数型数据线性回归分析和统计推断奠定了一定基础。此外，负责人在此基础上进一步将该方法推广至“在异方差误差分布情况下的超高维半函数型数据线性回归模型的统计推断方法”，使得我们能够在异方差误差分布情况下处理同时具有超高维函数型数据和超高维点数据的线性回归分析和统计推断。又例如负责人从理论和实际应用角度研究了“两样本超高维函数型数据均值函数相等性的假设检验方法”，使得我们能用该方法在实际中快速检验复杂两样本超高维函数型数据均值函数是否相等。.此外，负责人还从理论和实际应用角度研究了“超高维函数型数据的分类法”，使得我们能用该方法在实际中快速对给定的超高维函数型数据进行高效分类。其次，在本项目资助下，负责人还对一些常见的工业统计数据进行了统计分析和研究，并取得了一定成果。例如，负责人用统计学方法对工业轴承润滑脂摩擦数据进行分析，发现了一些重要的相依性结果，对指导工业生产具有重要的科学意义。

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