超对称可积方程的构造及其在数学物理中的应用

This project is devoted to investigate the supersymmetric integrable systems . The Heisenberg supermagnet model is an important supersymmetric integrable system. By introducing the auxiliary matrix variable, we shall construct the supersymmetric extension of ML-I, M-II and M-III equation and study the integrability of the system. We will construct the superextensions of the generalized Hirota equation with linear inhomogeneities , and we try to derive the corresponding equivalent generalized Heisenberg supermagnet model in terms of the gauge equivalent. The solution of the systems will be analyzed. By means of the construction of the suitable Fourier transform field and the supersymmetric Hamiltonian, we try to establish the relation between the infinite-dimensional 3-algebra and the super dispersionless KdV hierarchy.

本项目的研究对象为超对称可积系统。超对称海森堡铁磁链模型是一个重要的超对称可积模型，利用引入辅助自旋矩阵的方法，我们将研究 (2+1) 维ML-I方程、M-II方程以及 M-III方程推广到超对称的情形，从而构造高维推广的超对称海森堡铁磁链模型并研究其可积性质；我们还将探讨推广的Hirota方程的超对称化，通过规范变换，建立超对称推广的Hirota方程与推广的超对称海森堡铁磁链模型之间的联系，并对它们的解进行必要的分析和研究；通过构造恰当的傅里叶变换场以及超对称的哈密顿量，我们将建立超的无穷维 3-代数与超的非色散KdV 族之间的联系。

本项目的研究对象为超对称可积方程，无穷维3-代数与可积方程之间的关系。超对称海森堡铁磁链模型是一个重要的超对称可积模型，本项目中，我们构造了(1+1)维的3阶和4阶超对称海森堡铁磁链模型及其Lax表示，并且推导出其相应的规范等价方程。通过引入多个辅助变量矩阵，我们构造了(2+1)维3阶和4阶超对称海森堡铁磁链模型, 这些方程可以看做将ML-II, 和 ML-III方程推广到超对称情形，我们进一步研究了这些超对称可积方程的结构和可积性质。本项目利用多种方法研究了(2+1)维超对称非线性演化方程，并将x独立的Hirota方程推广到了超对称情形。此外，本项目还研究了无穷维3-代数与可积系统之间的关系，进一步研究了无穷维3-代数与矩阵模型之间的关系。本项目的研究成果对超对称可积系统的构造及其可积性质的研究，探求无穷维3-代数与可积系统之间的关系具有一定的推动和促进作用。

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