多线性算子的有界性及其应用

First, we will study deeply on the multilinear singular integral operators and related operators, such as maximal singular integral operators，Littlewood-Paley operators and oscillatory integrals. Also,we will make an intensive study of the boundedness problems of bilinear or trilinear Hilbert transform. They are pretty much closely connected with PDE. Moreover, these research involves three open problems in Harmonic analysis, namely, the boundedness problem of trilinear Hilbert transform posed by T.Tao, the boundedness problem of multilinear oscillatory integral with nondegenerate phase functions raised by M. Christ, and the weak type estimate for multilinear oscillatory integrals. We want to explore the way and ideas to deal the three open problems by study multilinear operators we mentioned above. Secondly, we will study some basic operators belong to the type of operators of Fourier integral operators in lowest dimension, which treat questions concerning extremals for certain L^p norm inequalities, whose form is determined by the influence of curvature and singularities. We will consider less fine questions such as the existence of extremizers, precompactness of extremizing sequences, and qualitative andquantiative properties of extremizers. We will focus on solving the conjecture posed by Christ and Xue about the characterization of any critical points of Radon like transform and to study the extremizers of the other Fourier integral operators in cluding the linear and multilinear convolution type operators. Third, efforts will be made to deal with the boundedness of linear and multilinear operators associated with convex bodies.

首先我们将对多线性算子中的多线性奇异积分算子及其相关算子，如极大算子，Littlewood-Pale算子，振荡奇异积分等，以及双线性和三线性Hilbet变换的各种有界性问题进行深入研究。这些算子本身与方程有密切关系，而且此研究涉及到调和分析中的三个公开问题，即Tao提出的三线性Hilbert变换有界性问题和Christ提出的关于带非退化位相函数的多线性振荡积分的有界性问题，以及振荡积分的端点弱型估计问题。通过多线性算子这方面的研究，探索解决三个公开问题的适当途径。其次，我们将对与多线性算子相关的Fourier积分算子中某些低维流形上的算子的L^p范数不等式的极值函数进行研究，主要是想彻底解决申请人和Christ提出的关于Radon型变换的关键点刻画的猜想并研究沿曲线的线性卷积算子的极值函数，并将这些结果推进到多线性情形。最后我们将研究Convex Body 情形下的多线性算子的有界性问题。

多线性算子在调和分析发展中起到了非常重要的作用，特别是这方面的研究与偏微分方程密不可分。在项目支持下，我们研究了多线性算子及其相关算子的一些调和分析的基本问题。 获得了一些重要的研究成果。主要结果如下：（一）给出了一类平方函数的L^2有界性的双权刻画。证明了其双权L^2不等式成立当且仅当双权的A_2条件和测试条件成立。（二）给出了带非卷积核和上幂界的非齐次Littlewood-Paley 函数的Tb定理。这是首次给出此类函数同时在以下三方面的研究：局部性，非齐次性，L^p -测试条件。最近又将测试条件减弱为弱（1,1）型测试条件。（三）首先系统研究了沿长方体的分数次极大算子理论，给出了这类算子的双权等价刻画。即使在单权情形下，此结果都是全新的。另外还给出了更一般基底下的双权刻画。建立了多线性强极大算子和分数次强极大算子的Fefferman-Stein不等式等。 研究了强极大算子的正则性和光滑性问题，建立了其在几类重要函数空间上的有界性。给出了沿长方体的分数次极大算子的端点L\log 弱型估计，包含了Grafakos等人的结果。（四）双参数的非卷积核的平方函数：首次给出了双参数的平方函数的L^2有界性，并建立了其在Hardy空间和L^p(1<p<2)空间上的有界性。（五）我们对与多线性Fourier积分算子和沿些低维流形上的相关算子的 范数不等式的性质进行了深入研究。我们还研究了 Convex Body情形下的几类算子的有界性问题和Torus上的一类极大HILBERT变换的有界性。（六）研究了与奇异拉东变换相关的极大算子，建立了其在Triebel-Lizorkin空间和Besov空间的有界性与连续性，作为应用也获得了其在分数次Sobolev空间的有界性与连续性。（七）研究了Riesz变换和Riesz位势算子交换子在加权Lebesgue空间的紧性，给出其关于CMO空间的等价刻画定理。研究模空间与经典函数空间的嵌入关系，获得了模空间与Triebel- Lizorkin空间嵌入关系成立的尖锐条件，及Wiener共合空间与Besov空间、Treibel -Lizorkin空间嵌入关系成立的尖锐条件。（八）研究Schrodinger环境下的热半群、Riesz变换及与BMO型函数生成的交换子算子簇的振荡与变差算子，建立其在加权Morrey空间的有界性。

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