超奇性奇异积分算子的相关研究

The project focuses on the research of the boundedness of hyper-singular integral operators, which mainly includes three parts. .Firstly, we study in details the boundedness of non-convolutionary osillatory hyper-singular integral operators in the homogeneous Sobolev space under certain kernel conditions, and the boundedness of convolutionary osillatory hyper-singular integral operators in the homogeneous Sobolev space and the homogeneous Triebel-Lizorkin space..Secondly, the boundedness of hyper-singular integral operators and generalized Marcinkiewicz integral operators with odd and variable kernels in the homogeneous Sobolev space is considered. The range of the spatial parameters is expanded from 1＜p≤2 to 1<p≤max{2,(n+1)/2}..At last, we investigate the boundedness of the parameterized Marcinkiewics integral operators with variable kernels along curved surfaces in the homogeneous Sobolev space. We will construct proper conditions along curved surfaces, use the different proving method to extend the range of the operator parameters ρ and α. We hope to properly use the rotation method to prove the boundedness of the operators, and properly deal with the hyper-singularity of operators in the proving the boundedness of hyper-singular integral operators.

本项目主要研究超奇性奇异积分算子的有界性，具体包括三个方面。.首先，研究了在一定的核条件下，非卷积的振荡超奇性奇异积分算子在齐次Sobolev空间上的有界性，以及卷积型的振荡超奇性奇异积分算子在齐次Sobolev空间和齐次Triebel-Lizorkin空间上的有界性。.其次，研究了带奇核的变量核超奇性奇异积分算子和变量核广义Marcinkiewicz积分算子在齐次Sobolev空间上的有界性。把已有研究结果中的空间指标范围从1＜p≤2推广到1<p≤max{2,(n+1)/2}。.最后，研究了沿曲面的带变量核的参数型广义Marcinkiewicz积分算子在齐次Sobolev空间上的有界性，希望建立合理的沿曲面的条件，通过不同的证明方法，改进已有结果中算子指标ρ和α的范围。 .本项目希望可以合理的运用旋转法证明算子的有界性；在超奇异积分算子的有界性证明中，合理的解决算子的超奇性问题。

在这一年中，研究分四个部分，完成了前两个部分，余下的两部分还在进行中。.首先研究了带变量核的参数型Marcinkiewicz积分算子在Herz型Hardy空间上的有界性。证明了两个定理，并改进了已有结果中核的条件。此外，研究了一类参数型Marcinkiewicz积分算子在Herz-Hardy空间上的加权有界性。这里考虑的AP权函数满足一定条件，可以得到两个结果。这一部分内容已经整理成论文投稿在审。.其次，在研究沿曲面的带变量核的参数型Marcinkiewicz积分算子在齐次Sobolev空间上有界性的问题中。先利用旋转法考虑证明了不沿曲面算子的有界性，改进了指标条件。在此基础上，仍然根据旋转法考虑证明了沿曲面算子的有界性，这里曲面的条件没有实质改进，主要改进了指标条件。这一部分内容已经整理成论文投稿在审。.再次，在关于带奇核的带变量核超奇性奇异积分算子和广义Marcinkiewicz积分算子在齐次Sobolev空间上有界性的问题中，先利用旋转法考虑了超奇性奇异积分的情况，研究还在继续。.最后，在关于振荡超奇性奇异积分算子在齐次Sobolev空间上有界性的研究中，先研究了关于变量核的振荡超奇性奇异积分算子的情况，研究还在继续。

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