复杂流体模型中液晶方程和 Oldroyd-B 方程的适定性研究

In this project we will apply the theory of harmnoic analysis, semigroups of differential operators and functional analysis to study the Cauchy problems for nematic liquid crystal flows and Oldroyd-B equation in complex fluids. The main content includes two parts: (1) Combining the theory of the partial differential equations with semigroup of operators and Littlewood-Paley theory, applying the Bony's decomposition and fixed point theorem, we will study the local well-posedness of the Cauchy problems for the above two kinds of equations in Sobolev spaces or Besov spaces. (2) Based on the local well-posedness, by carefully choosing the suitable function spaces , we will establish the global wellposedness which large initial data are allowed.

本项目拟运用调和分析理论, 微分算子半群理论以及泛函分析理论去研究复杂流体模型中的液晶方程和 Oldroyd-B 方程的柯西问题. 内容主要涉及两个方面：(1) 综合运用偏微分方程理论, 结合算子半群理论, Littlewood-Paley 理论, Besov 空间中的仿积分解技术和不动点定理来研究液晶方程和 Oldroyd-B 方程的柯西问题在 Sobolev 或 Besov 空间中的局部适定性. (2) 在局部适定性的基础上, 选择合适的函数空间, 建立允许大初值的整体适定性.

本项目拟运用调和分析理论，尤其是最近比较流行的Littlewood-Paley理论, 微分算子半群理论以及泛函分析理论去研究复杂流体模型中的液晶方程和 Oldroyd-B 方程的适定性问题。对于与密度有关的不可压缩液晶方程我们分别讨论了2维和3维情况下初始密度不在平衡态附件扰动的局部大解以及小初值时的整体解。我们还给出了具有某种大初值时的整体解，这类解可以允许初始速度的某些分量任意大。同时我们还重点研究了可压缩液晶方程的粘性极限问题，证明当体积粘性系数充分大时可压缩的液晶方程收敛到不可压缩液晶方程，并得到了准确的收敛速率。对于复杂流体里面备受关注的不可压缩Oldroyd-B方程， 充分挖掘系统本身隐含的结构，通过引进一些新的变量（速度场和张量之间的一个组合），我们首先得到了没有阻尼项时的高振荡解，随后我们研究了这个解的渐进行为，在对初值另加低频要求的条件下得到了解的准确衰减速率。把上面的结果推广到可压缩Oldroyd-B方程， 我们同样得到了没有阻尼项时的高振荡解，并给给出了最优的衰减速率。我们的结果去掉了div-curl 结构性条件，更具有普适性。

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