麦克斯韦方程组间断有限元方法研究

传统上描述电磁波传播规律的数学模型是著名的麦克斯韦方程组。上世纪九十年代，科学家们开始关注电磁波在色散媒质中的传播，所谓色散媒质是指相关参数与在其中传播的电磁波频率有关的媒质，由于水、土壤、人体组织、毛发、光纤、等离子体、隐形飞机的吸波材料等都是色散媒质，所以研究色散媒质中麦克斯韦方程组的数值计算方法具有重要的理论和实际意义。另一方面电磁散射问题也是计算电磁学中一个十分重要而极富挑战性的问题。本项目拟研究求解各类色散媒质中的麦克斯韦方程组的半离散或时空全离散间断有限元（DG）方法，证明格式的数值稳定性和误差估计，以及关于时间方向数值通量的强超收敛性。并将时空DG格式与吸收边界层方法结合，求解电磁散射问题，研究其稳定性和误差估计；基于电磁散射问题精确无反射边界条件卷积核的简单表达式，用能量法讨论相应初边值问题的适定性和先验估计，并设计适当的时空DG格式求解该问题，进行相应的数值分析。

电磁计算作为科学计算领域中的一个重要分支，越来越得到电磁科学家和数学家们的重视。传统上描述电磁波传播的数学模型为著名的麦克斯韦方程组，而目前电磁计算中的大部分工作集中在简单媒质中的麦克斯韦方程组的求解，由于色散媒质广泛存在，如水、土壤、人体组织、毛发光纤、等离子体、隐形飞机的吸波材料等均为色散媒质，近年来色散媒质中麦克斯韦方程组数值方法的研究越来越引起人们的关注。另一方面，Veselagiin于1967年提出了双负媒质的概念，但这种媒质一直到2000年才被人工制造出来，并成为本世纪最引人注目的科学热点之一。由于双负媒质在隐形材料的制造等诸多方面具有广泛的应用，近十五年来关于双负媒质中麦克斯韦方程组的理论和数值计算方法研究亦已成为科学工程计算界热门的研究领域，而且双负媒质中电磁波传播的数值模拟，对设计新的双负媒质和发现其新性质，起着非常重要的作用。此外电磁散射问题，特别是三维电磁散射问题计算也是计算电磁学中一个十分重要而极富挑战性的研究领域。. 色散媒质和双负媒质中麦克斯韦方程组实际上为积分微分方程组，本项目研究求解这些方程的各种全离散间断有限元方法，必须克服由于积分项的存在而带来的全局效应以及分析上的困难，同时力图降低格式对CFL条件的要求，并在比较紧凑的框架下证明格式的稳定性和收敛性，探求其某些超收敛性。其次，本项目研究将间断有限元方法与人工无反射边界条件结合求解三维电磁散射问题。由于人工无反射边界条件涉及向量场的向量球调和展开系数，因此为一个全局边界条件。我们提出了一种基于已知函数（向量场）的高次分片多项式插值的半解析方法，实现了向量球调和展开系数的高精度近似，而且与DG方法可实现无缝对接。在实际应用中电磁波有时会在不同媒质中传播，因此必将涉及麦克斯韦方程组的界面问题的计算。为了将来研究麦克斯韦方程组界面问题的计算，本项目组基于非贴体网格和杂交间断有限元方法研究Poisson 方程和热方程的界面问题的计算，通过巧妙地引进一个ansatz函数，将原来的界面问题变成一个新的界面正好与网格线重合的界面问题，再利用HDG方法善于模拟界面问题且自由度少的优势来求解。该方法生成网格的代价低，且能方便的处理三维复杂界面和移动界面，数值解及导数均具有二阶精度，为本项目组在以后的工作中进一步处理麦克斯韦方程组界面问题提供了可借鉴的经验。

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