非线性随机系统概率密度函数形状控制研究

Most control systems are subject to unavoidable random noise, therefore, every system in nature can be considered as a stochastic system. In order to improve the control performance, stochastic control is essential. The traditional linear stochastic control theory that takes the mean of the performance index as a control objective is mathematically easy to deal with, but it does not reflect the complete statistical characteristics of the controlled variables. The fundamental way to break through this bottleneck is to replace the mean by the shape of the Probability Density Function (PDF). The existing PDF shape control methods in non-linear stochastic systems require that the dimension of the controlled variable is low, the model parameters are known and the random noise is of Gaussian white noise property, which makes them severely restricted in practical applications. In this project we will adopt the PDF shape of the controlled variable as the control target, propose a PDF shape control method for the high dimensional multi-variable systems, explore a design technique of PDF shape controller with active learning features for the systems with unknown parameters, and set up a multi-modal PDF shape control theory for non-linear non-Gaussian systems. The project puts forward new methods and establishes new theory for improving the control performance of the non-linear stochastic systems , and also provides a scientific basis for the extensive applications of the PDF shape control methods.

绝大多数控制系统都会受到不可避免的随机噪声干扰，因此自然界中的每一个系统都可以认为是随机系统。为提升控制性能，随机控制必不可少，以性能指标均值为控制目标的线性传统随机控制理论尽管数学上易于处理，但并不能体现被控变量的完全统计特征。突破这一瓶颈的根本途径就是用概率密度函数（PDF）的形状代替均值。现有的非线性系统PDF形状控制方法要求被控变量维数低、模型参数已知和随机噪声具有高斯白噪声性质，使得它们在实际应用中受到了严重限制。本项目以被控变量的PDF形状作为控制目标，对高维多变量系统，提出PDF形状控制方法；对含有未知参数的系统，探索具有主动学习特点的PDF形状控制器设计方法；对非线性非高斯系统，建立多峰PDF形状控制理论。为提高非线性随机系统的控制性能提出新方法，建立新理论，也为PDF形状控制方法的广泛应用提供科学依据。

为了提高随机系统的控制性能和扩大随机理论的应用范围，本项目以随机变量的概率密度函数（PDF）为控制目标，研究了二维多变量系统、含有未知参数的系统、非线性非高斯系统的PDF形状控制方法。经过三年的研究，课题组在各个方面都取得了重要进展，基本达到了申请书上的研究目标，具体内容包括：. 1）获得了二维随机系统对应的FPK方程和随机变量的稳态PDF形式，为二维非线性随机系统的PDF形状控制提供了一种求解思路。2）探索了基于预测控制的含有未知参数系统的PDF形状控制思路以及具有主动学习特点的PDF形状控制器设计方法。3）提出了任意非线性随机系统的PDF形状控制研究方法，能够逼近任意的非高斯分布的目标PDF，获得了良好的控制效果。4）建立了多项式和指数多项式乘积方法的PDF形状控制理论，可以有效控制非高斯分布的目标PDF，且方法具有较少的参数。5）提出了一种基于混合Logistic函数的非线性随机系统的PDF形状控制方法，利用希尔伯特内积定义获到了最优的PDF形状控制器。6）采用智能算法优化计算PDF形状控制器增益，分析了在PDF形状控制中烟花算法比遗传算法和粒子群算法具有更少的迭代次数和更快的收敛速度。7）研究了基于最大熵原理方法的风电输出功率波动概率分布模型和基于多项式回归模型描述风速频率分布特性的方法，均获得了良好的拟合效果，为风电场风能资源评估提供了一种有效的分析工具。8）研究了指数多项式分布模型用于描述不同航径和高度下飞机动态RCS的统计特性以及多项式和指数多项式乘积的分布模型用于描述三个姿态角范围内RCS统计数据的统计特性，研究结果可用于雷达目标的早期预警检测，提高雷达的总体性能。. 以上研究都是将非线性随机系统的PDF形状控制问题转化为参数优化问题，结合最优化理论和方法、函数逼近论、概率统计法等获得问题的求解。本项目在非线性随机控制方面提出了新方法，建立了新理论，为PDF形状控制方法的广泛应用提供了科学依据。

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