基于算子代数理论的Bessel、框架生成元乘子相关问题研究

从泛函分析算子理论角度研究正交小波和框架小波已成为国际上小波研究的新方向。其中小波乘子在该方向研究中发挥着重要作用。本项目针对目前该方向小波乘子研究中存在的主要问题，采用算子代数的相关理论和方法，从Bessel生成元乘子的刻画入手，在丰富和发展Bessel生成元乘子理论的基础上，对群型系（包括小波酉系、Gabor酉系和群表示酉系）单生成元情形下的游荡向量乘子、框架生成元乘子的刻画及其与稠密性和连通性相关的问题开展比较系统的研究，并且进一步将这些研究内容扩展到多生成元情形中。主要研究内容包括：单Fourier Bessel乘子刻画及Bessel小波函数集合道路连通性研究；群型系的Bessel生成元乘子及其代数研究；基于Bessel生成元乘子理论的群型系游荡向量乘子及框架生成元乘子刻画研究；高维小波酉系的多Bessel小波乘子刻画及多框架小波集合拓扑性研究。

我们严格按照项目任务书的研究内容和计划取得了如下研究成果：(1) 关于Bessel小波函数集合道路连通性研究，我们研究了一维空间R和高维R^n空间中，任意长度为n的集基本Parseval-Super框架小波，给出了这类框架小波的具体刻画，并且证明了所有任意的同一长度的集基本Parseval-Super框架小集合是道路连通的结果。(2)给出了高维R^d空间中2进（整数扩张矩阵行列式的绝对值等于2）扩张矩阵单高维Parseval框架小波Fourier矩阵乘子的刻画研究，且利用该乘子刻画定理，证明了空间L^2(R^d)中所有2进扩张矩阵的具有框架多分辨分析(Frame MRA)的单Parseval框架小波集合是道路连通的结果。 (3)给出了L^2(R^d)中所有2进扩张矩阵的具有正交多分辨分析(Frame MRA)的单正交小波的线性相位的刻画及应用。(4)给出了L^2(R^2)上的2I-扩张矩阵2-进双变量低通滤波器乘子的刻画定理，且应用该乘子刻画定理证明了所有2进双变量低通滤波器集合在L^2([-\pi,\pi])^2 空间拓扑下是道路连通的结果。 (5) 给出了L^2(R^2)上的2I-扩张矩阵2-进双变量多正交小波矩阵乘子的刻画条件，且给出应用实例。 (6)给出了一维空间R中的任意长度为n的Parseval多小波框架Fourier矩阵乘子的具体刻画定理和应用。(7)关于群型系的Bessel生成元乘子及Bessel生成元乘子代数研究这部分的内容，我们给出了具有正交多分辨分析的正交多尺度生成元、正交多游荡向量生成元的群型系的酉算子参数化表示，相应地给出了该型系的Parseval系的余等距算子参数化表示，以及Riesz-系的可逆算子参数化表示。(8)我们系统研究了有限群表示的框架乘子， 给出了对于一个有限群表示能够分解成单的不等价不可约酉表示的群框架乘子的刻画，和一个有限群表示能够分解成重数是r的酉表示的群框架乘子刻画,讨论了二者混合出现的酉表示刻画情况。. 基于上述研究成果，完成学术论文9篇，目前正式发表6篇，其中三篇已被SCI检索（一篇在SCI一区杂志上发表），完成了项目的研究目标。

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