关于偏微分方程解的正则性及奇点集结构分析

结题报告
项目介绍
AI项目解读

基本信息

  • 批准号：
    11101106
  • 项目类别：
    青年科学基金项目
  • 资助金额：
    20.0万
  • 负责人：
    杜式忠
  • 依托单位：
    哈尔滨工业大学
  • 学科分类：
    A0304.椭圆与抛物型方程
  • 结题年份：
    2014
  • 批准年份：
    2011
  • 项目状态：
    已结题
  • 起止时间：
    2012-01-01 至2014-12-31

项目摘要

本项目拟对偏微分方程解的正则性及奇点集的结构进行分析。这方面很多问题还没得到解决。我们主要讨论以下几个相关的重要问题。一是关于超临界非线性半线性抛物偏微分方程解的奇点集Hausdorff维数的最优上界估计，二是薄流体型偏微分方程非负解零点集的大小估计。三是关于半线性椭圆型偏微分方程静态解的奇点集Hausdorff维数的最优上界估计，最后一个问题是关于静态的调和映照的奇点集Hausdorff维数的最优上界估计。对于能量极小的调和映照，R.Schoen和Uhlenbeck[SU]在1982运用维数归纳的方法给出了奇点集的最优上界。林芳华于1999年将这个结果推广到静态的调和映照上，不过要加入额外的限制，即调和2维球面的非存在性。我们希望能移去这一限制，给出一个完整的结果。研究所用方法主要是几何测度论中的技巧与工具。

结项摘要

本项目主要研究了.(1)非线性程度为临界增长时的半线性拋物方程边界弱解的部分正则性，得到了相关近似椭圆方程的部分正则性结果。作为应用，得到了边界弱解u(x,t)当时间参数t趋于正无穷时的渐进特性。准确地说，得到了边界解能量极限值的精确值为标准bubble能量的整数倍，分别对应于当t趋于无穷时，u(•,t)的Palais-Smale条件状态。.(2)四阶退化拋物薄流体方程非负弱解的存在性及Laugesen泛函的单调性。作为应用，得到改进后的关于零点集的部分正则性结果。.(3)非线性程度为超临界增长时经典半线性椭圆方程静态弱解奇点集Hausdorff维数的最优上界估计。.(4)[05,Ma-Trudinger-Wang]文中首次得到了判定最优映照光滑的充分条件，这一条件的较弱的版本在之后的一篇文章[09,Loeper]中被证明也是最优映照连续的必要条件，因此变得重要。我们讨论了成本函数为测地距离平方时，黎曼曲面上Ma-Trudinger-Wang曲率张量正性的显式判定条件。.(5)讨论在不同度量下，光滑的或者连续的调和同胚的存在与非存在性。

项目成果

期刊论文数量（8）
专著数量（0）
科研奖励数量（0）
会议论文数量（0）
专利数量（0）
New dissipated energy and partial regularity for thin film equations
薄膜方程的新耗散能和部分正则性
  • DOI：
    10.1016/j.jmaa.2013.06.057
  • 发表时间：
    2013-12
  • 期刊：
    Journal of Mathematical Analysis and Applications
  • 影响因子：
    1.3
  • 作者：
    Du, Shi-Zhong;Fan, Xu-Qian
  • 通讯作者：
    Fan, Xu-Qian
关于薄流体零点集Hausdorff维数的估计
  • DOI：
    --
  • 发表时间：
    2008
  • 期刊：
    SIAM Journal on Mathematical Analysis
  • 影响因子：
    2
  • 作者：
    杜式忠
  • 通讯作者：
    杜式忠
The singular set of stationary solution for semilinear elliptic equations with supercritical growth
超临界增长半线性椭圆方程平稳解的奇异集
  • DOI：
    10.1016/j.jde.2014.01.006
  • 发表时间：
    2014-04
  • 期刊：
    Journal of Differential Equations
  • 影响因子：
    2.4
  • 作者：
    Du, Shi-Zhong
  • 通讯作者：
    Du, Shi-Zhong
Positivity of Ma-Trudinger-Wang curvature on Riemannian surfaces
黎曼曲面上 Ma-Trudinger-Wang 曲率的正性
  • DOI：
    10.1007/s00526-013-0684-7
  • 发表时间：
    2014-11
  • 期刊：
    Calculus of Variations and Partial Differential Equations
  • 影响因子：
    2.1
  • 作者：
    Du, Shi-Zhong;Li, Qi-Rui
  • 通讯作者：
    Li, Qi-Rui
关于半线性抛物型问题边界解的部分正则性
  • DOI：
    --
  • 发表时间：
    2007
  • 期刊：
    Calculus of Variations and Partial Differential Equations
  • 影响因子：
    2.1
  • 作者：
    杜式忠
  • 通讯作者：
    杜式忠

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其他文献

On partial regularity of the b
关于 b 的部分正则性
  • DOI：
    --
  • 发表时间：
    --
  • 期刊：
  • 影响因子：
    --
  • 作者：
    曹启升;杜式忠;郑高峰
  • 通讯作者：
    郑高峰

其他文献

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课题项目：调控A型流感病毒诱导IFN-β表达的机制研究

AI项目摘要：

本研究聚焦于TRIM2蛋白在A型流感病毒诱导的IFN-β表达中的调控机制。A型流感病毒是全球性健康问题，其感染可导致严重的呼吸道疾病。IFN-β作为关键的抗病毒因子，其表达水平对抗病毒防御至关重要。然而，TRIM2如何调控IFN-β的表达尚未明确。本研究假设TRIM2通过与病毒RNA或宿主因子相互作用，影响IFN-β的产生。我们将采用分子生物学、细胞生物学和免疫学方法，探索TRIM2与A型流感病毒诱导IFN-β表达的关系。预期结果将揭示TRIM2在抗病毒免疫反应中的作用，为开发新的抗病毒策略提供理论基础。该研究对理解宿主抗病毒机制具有重要科学意义，并可能对临床治疗流感病毒感染提供新的视角。

AI项目思路：

科学问题：TRIM2如何调控A型流感病毒诱导的IFN-β表达？
前期研究：已有研究表明TRIM2参与抗病毒反应，但其具体机制尚不明确。
研究创新点：本研究将深入探讨TRIM2在IFN-β表达中的直接作用机制。
技术路线：包括病毒学、分子生物学、细胞培养和免疫检测技术。
关键技术：TRIM2与病毒RNA的相互作用分析，IFN-β启动子活性检测。
实验模型：使用A型流感病毒感染的细胞模型进行研究。

AI技术路线图

        graph TD
          A[研究起始] --> B[文献回顾与假设提出]
          B --> C[实验设计与方法学准备]
          C --> D[A型流感病毒感染模型建立]
          D --> E[TRIM2与病毒RNA相互作用分析]
          E --> F[TRIM2对IFN-β启动子活性的影响]
          F --> G[IFN-β表达水平测定]
          G --> H[TRIM2功能丧失与获得研究]
          H --> I[数据收集与分析]
          I --> J[结果解释与科学验证]
          J --> K[研究结论与未来方向]
          K --> L[研究结束]
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