曲面准地转（SQG）方程适定性理论研究

The surface quasi-geostrophic (SQG) equation is one of the most important models for geophysical fluids. It is also mathematically significant due to its similarities with the 3D incompressible Euler and Navier-Stokes equations. The SQG equation has attracted enormous interests recently and important progress has been made. We now know that the sub-critical and critical viscous SQG are globally well-posed, and some generalized inviscid SQG on the half-plane can blow up in a finite time. There are still many open problems. The global well-posedness of the supercritical visicous SQG with general data and the blow-up problem of inviscid SQG are all open. This project intends to study the large-time behavior of solutions to the critical and supercritical viscous SQG, and the local well-posedness of the invisicd SQG in the upper half-plane and potential finite-time singularity behavior. Our approach and techniques will include dedicate spectral decomposition of fractional operators, the Fourier splitting method and singularity integral operators estimates. We will attempt to develop and extend these methods and techniques to the half-plane. It is hoped that this project will shed light on the global well-posedness problem on the 3D Euler and Navier-Stokes equations and will be also useful for other related PDEs.

曲面准地转（简称SQG）方程是地球物理流中的重要数学模型之一。由于和三维不可压缩Euler及Navier-Stokes方程的相似性，它又有重要的理论研究价值。近期，SQG方程引起了人们的关注并取得了重要进展，次临界和临界粘性SQG方程的整体适定性已被证明，半空间上一些无粘广义SQG方程解的爆破也被证明。然而超临界情形下粘性SQG方程大初值解的整体适定性，无粘SQG方程解的爆破等许多问题仍是公开问题。本项目主要研究粘性SQG方程在临界、超临界情形下解的渐进行为，半空间上无粘广义和经典SQG方程的局部适定性和古典解在有限时间内爆破问题，主要研究方法包括经典的Fourier分解技术、分数次算子的谱分解、奇异积分估计等工具和技术，并发展半空间上的相应分析技术。通过本项目的实施，有助于深入研究三维Euler和Navier-Stokes方程的整体适定性问题及其它相关方程的数学理论。

本项目主要研究现代物理学中所出现的一些重要的流体动力学方程，如：不可压缩Navier-Stokes方程、不可压缩Euler方程、SQG方程和不可压缩MHD（磁流体）方程等，这些非线性偏微分方程具有鲜明的物理背景。具体取得的成果有：1）建立了一类推广的Calderón-Zygmund奇异算子的L^q一致估计。特别的，利用此一致估计，我们可以得到经典的Calderón-Zygmund奇异算子的L^q估计。这类推广的Calderón-Zygmund奇异算子是在研究SQG方程的逼近问题时出现的。2）关于三维不可压Navier-Stokes方程。一方面，我们获得了其弱解在Lorenz 空间中速度、速度梯度、涡度或变形张量的ε-正则性准则，作为应用，这使我们能够推广涉及Leray爆炸率的最新结果。另外一方面，建立了临界Lebesgue空间中具有小初始值的三维 Navier–Stokes方程的高阶空间导数的最优衰减估计，该空间比先前工作中的临界Sobolev空间要大。最后，对于三维带有damping项的Navier-Stokes方程，首次证明了轴对称解的存在性和唯一性。3）我们以d维不可压缩磁流体动力学方程（只有速度场方程带有分数次耗散，磁场方程无耗散）为研究对象，在最小初始正则性假设下，建立了弱解的局部存在唯一性。值得指出的是所取得的研究结果可完全平行推广到不可压缩Navier-Stokes方程上。4）对带有部分耗散的二维Boussinesq方程，证明了在初始条件具有较低的正则性条件下，整体解是存在唯一的。

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