偏微分方程反问题中的弱隐身结构设计的理论和方法研究

Upon insertion of an inclusion into a medium with the uniform field, if the field is not perturbed at all outside the inclusion, then it is called a neutral inclusion. A two (three) dimensional inclusion of core-shell structure is neutral to multiple uniform fields if and only if the core and the shell are concentric disks (balls), provided that the conductivity of the matrix is isotropic. In this project we consider the problem of constructing inclusions of general shape which are weakly neutral to multiple fields. Weakly neutral inclusion is defined by the asymptotic behavior of solution at infinity. It does perturb the uniform field, but only mildly. Neutral and weakly inclusions are closely related to imaging and invisibility cloaking. In this project, we will show the existence of weakly neutral inclusions of general shape, by an implicit function theorem, for static electric conducting, Helmholtz, Electromagnetic and static elastic systems. Furthermore, we will develop theoretical and computational methods for the design of weakly neutral structure.

本项目主要研究反问题领域里关于隐身的理论及其数值计算。通常情况下，在均匀场中嵌入与背景物质参数不同的其他物质时，均匀场会发生扰动，变得不再线性。然而存在一些特殊的涂层结构，将其放入均匀场时，均匀场并不会发生任何扰动。这样的结构称为隐身结构。目前已经有严格的理论证明出在静电传导模型下，除了同心圆和同心球之外，任何涂层结构都不能同时对多个方向的线性场隐身。然而，这并不妨碍我们对隐身进行深一步的研究。由于一般的涂层结构不满足隐身的条件，我们可以考虑弱一点的隐身，我们称之为弱隐身。弱隐身通过解在无穷远处的渐近展开阶数来定义，其介于隐身和非隐身之间。弱隐身结构也会对均匀场产生扰动，但是相对比较弱的扰动。本项目从静电传导模型出发，证明具有一般几何形状的弱隐身结构的存在性，并将其推广到声波电磁波和静态弹性系统的研究中。整个研究将围绕弱隐身结构的存在性证明，涂层结构设计的算法研究和数值实现三个方面展开。

在本项目的研究中，我们主要针对一般几何形状下的弱隐身结构进行研究。证明具有一般几何形状的弱隐身结构的存在性；通过研究数值算法，具体找出这样的弱隐身结构；并将此研究进一步推广到声波电磁波和静态弹性系统的研究中。针对研究目标，我们开展了一系列的相关研究，利用隐函数定理证明出同心圆和同心球结构的微小扰动所对应的一阶极化张量仍然为零，即除了同心圆和同心球结构之外存在其他的弱隐身结构；通过令共形映射中不同阶的系数为零，可以得到一系列不同种类的弱隐身结构。本项目在非完美界面机制下也开展了弱隐身的研究，通过引进超导型非完美界面，设计非完美界面参数，达到使任意单连通区域都可达到弱隐身；并开展弹性系统模型下的弱隐身研究的探索。.2006年Science杂志在同一期上接连刊登了两篇关于隐身的文章，并把隐身定为2006年科学世界的第五大突破。自此以来，数学、物理、材料工程等各个领域的学者开始从理论和应用角度广泛研究隐身技术。隐身技术无论是在战略方面还是在经济科技以及医学方面，都具有非常高的地位极其应用价值。本项目所开展的理论和算法研究具有非常重要的实际应用背景且都是研究难点，并且是应用数学和计算数学领域的前沿和热点问题。

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