非线性可积系统的某些代数和几何性质

This project studies some algebraic and geometric properties of a class of nonlinear integrable hierarchies which have important applications in mathematics and physics, and studies the relationships among these algebraic and geometric properties and their applications in Gromov-Witten theory and quantum field theory. It mainly focuses on the following aspects: To study W-algebras, W-constraints and some other generalizations of the Virasoro constraints for these nonlinear integrable hierarchies; to generalize the constructions of Kac-Wakimoto and Drinfeld-Sokolov in order to establish relationships between these nonlinear integrable hierarchies and infinite dimensional Lie algebras; to study super variable extensions of a class of nonlinear integrable hierarchies associated to certain affine Lie algebras and Frobenius manifolds; to study properties of the higher genus free energies of the topological deformations of the integrable hierarchies of hydrodynamic type associated to semisimple Frobenius manifolds.

本项目研究一类具有重要的数学和物理应用的非线性可积方程簇的某些代数和几何性质，研究这些代数和几何性质之间的相互联系及其在Gromov-Witten理论和量子场论等方面的应用。内容主要包括：研究与这类非线性可积方程簇相关联的W-代数、W-约束以及Virasoro约束的某类其它推广；推广Kac-Wakimoto构造和Drinfeld-Sokolov构造以便建立起这类非线性可积方程簇和无穷维李代数的联系；研究一类对应于仿射李代数以及Frobenius流形的非线性可积方程簇的超变量拓展；研究与半单Frobenius 流形相联系的流体力学型可积方程簇的拓扑形变的高亏格自由能的性质。

本项目研究了一类具有重要的数学和物理应用的非线性可积方程簇的某些代数和几何性质，包括这些性质之间的相互联系及其在Gromov-Witten理论和量子场论等方面的应用，并取得了如下主要成果: 1）将双哈密顿结构的中心不变量的概念应用到由范辉军、Tyler Jarvis和阮勇斌所发展起来的FJRW不变量理论，建立了BCFG型仿射李代数所对应的Drinfeld-Sokolov可积方程簇与FJRW理论之间的联系，给出了BCFG型边界奇点所对应的FJRW理论的正确构造并证明了相应的广义Witten猜想。2）对任意的半单Frobenius流形构造了一簇依赖于无穷多参数的具有哈密顿结构的可积发展方程并称之为Hodge方程簇；当Frobenius流形对应于光滑射影簇的量子上同调时,该方程簇的某一特解的tau函数的对数给出了相应的稳定映射模空间上的Gromov-Witten类、其引力派生类以及Hodge丛的示性类之间的相交数的生成函数；给出了利用零亏格Gromov-Witten不变量的生成函数来表示高亏格Hodge势能的方法；证明了当其参数取某些特定值时，1-维Frobenius流形所对应的Hodge方程簇等价于离散KdV方程簇；构造了一簇新的可积系统并称之为分数阶Volterra方程簇，提出了它与一类满足局部Calabi-Yau条件的3次Hodge积分所对应的Hodge方程簇等价的猜想。3）证明了每一个半单且平坦恰当的流体力学型双哈密顿结构对应于某些通过Legendre变换相联系的Frobenius流形结构，构造了与之相联系的流体力学型双哈密顿可积方程簇以及它们的tau结构，证明了这类流体力学型双哈密顿结构的中心不变量为常值的形变所对应的双哈密顿可积方程簇的tau结构的存在与唯一性定理。4）研究了半单流体力学型双哈密顿结构的一类非局部推广即半单流体力学型双-Jacobi结构的性质，在单分量情形解决了这类双-Jacobi结构的形变的分类问题。5）给出了拓展的BCD型仿射Weyl群轨道空间上的Frobenius流形结构的 LG superpotential。

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