空间分数阶对流弥散模型与多参数反演算法

随着国民经济的快速发展，环境污染问题对经济社会可持续发展的影响日益明显。搞清楚污染物质的迁移转化规律是解决好区域水环境污染问题的一个关键。特别是溶质的长距离输运行为及非饱和运移模式，仍是多孔介质中溶质运移问题研究的难点。分数阶微分对流弥散方程是揭示多孔介质中非费克(non-Fickian)运移行为的新模式，注意到分数阶模型中含有更多难以直接测量的参数，这就导致了对于分数阶微分对流弥散模型及多参数反演算法的研究。.主要研究内容：（1）空间分数阶对流弥散模型的数值解法，包括通量边界条件的处理及分数微分阶数对解的影响研究等；（2）分数阶微分对流弥散反问题与多参数反演算法，包括反问题的可解性、多参数反演算法及其实现；（3）多参数反演的条件稳定性。本申请项目的主要特色是应用反问题方法系统研究分数维对流弥散行为，以期为研究反常扩散问题提供新的思路及方法。

该项目主要开展分数阶扩散模型求解与多参数反演算法研究。三年来，发表学术论文21篇，其中核心期刊14篇，被SCI收录7篇、EI收录2篇；完成专著1部已通过科学出版社的学术审查。主要工作陈述如下。.1)分数阶扩散方程的正问题求解。给出了证明差分格式无条件稳定与收敛的一种新方法，探讨了微分阶数大小对正问题解的影响。2)空间分数阶对流扩散相关反问题。主要是一维空间分数阶对流弥散方程的空间依赖源项系数的数值反演、具有常数形式的弥散系数、平均流速与分数微分阶数等多个参数的联合反演、含双侧Riesz分数阶导数的空间分数阶对流弥散方程微分阶数与弥散系数的联合反演、二维空间分数阶对流扩散方程的求解及空间依赖的源项与扩散系数的联合反演。3)时间分数阶扩散方程反问题。主要是时间分数阶一维扩散方程中扩散系数反演以及扩散系数与微分阶数的联合反演、空间依赖扩散系数与源项的联合反演、时间分数阶二维对流扩散方程求解与分布点源强度识别反问题。特别对于空间依赖扩散系数与微分阶数的联合反演问题，在连续初值条件下证明了反演解的唯一性并应用最佳摄动量正则化算法进行了数值反演。4)时间-空间(左侧)分数阶扩散模型中关于微分阶数的反演问题,基于终值数据进行了数值反演模拟。5)一般溶质运移及其反问题研究。主要是扰动土柱渗流试验模型及其反问题、原状土柱渗流试验的参数反演与数据重建、二维对流弥散方程求解及弥散系数与源项的联合反演问题、通量边界条件下一维溶质运移行为模拟等。6)一般反演算法及正则化方法研究，主要是最佳摄动量正则化算法。给出了该算法在连续函数重构中的应用、研究了同伦正则化算法中正则参数的精细选取问题、探讨了高阶Hilbert病态方程的正则化求解等。7)完成专著《扩散模型的源项反演及其应用》，且已通过科学出版社的学术审查。该书分七章，主要探讨基于扩散模型的连续源项与源项系数反问题及其应用。8)完成关于多个时间分数阶扩散相关反问题等研究论文5篇，分别投稿至JIIP、Numerical Mathematics-TMA、IPSE等专业期刊。9)项目组与复旦大学、日本东京大学、内蒙古工业大学等国内外高校同行一直保持交流与合作，李功胜被聘为内工大兼职教授。有19人次参加国内外学术会议，作大会邀请报告2人次。10)三年来培养硕士6人，目前在读研究生4人，均将以分数阶扩散模型反问题研究为主要内容完成其硕士学业。

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