夸克禁闭机制中出现的偏微分方程问题

A well-known great puzzle in modern physics is quark confinement. A widely accepted quark confinement mechanism is linear confinement. In this important area of scientific research, many challenging and interesting nonlinear partial differential equation problems with novel structures and of fundamental nature have been derived over the last ten years by physicists in the context of supersymmetric quantum field theory. However, despite the success of the field-theoretical formalism, few mathematically rigorous investigations regarding these nonlinear partial differential equations are available. In this project the principal investigator will study two main classes of nonlinear partial differential equation problems arising in quak confinement mechanism in supersymmetric quantum field theory described above. The first class of the problems will be about some systems of nonlinear partial differential equations governing the unified interaction of non-Abelian monopoles, modeling quarks, and vortexlines, modeling the forcelines which bond the quarks together. We shall aim at constructing the solutions of these systems of nonlinear equations and obtaining the anticipated linear confinement scenario. The second class of the problems will be about some systems of nonlinear equations governing color-charged (non-Abelian) vortexlines which are essential for the realization of the dual Meissner effect and serve as the very starting point for the linear confinement mechanism. An in-depth understanding of these systems of equations prepares a solid foundation for the quark confinement mechanism itself and paves the path to an ultimate solution of the unified monopole-vortex equation problems. The new ideas and methods developed in this work will be valuable to other areas of studies concerning vortex equations, enhance the interaction of mathematics and physics, and enrich the existing theory and methods of partial differential equations.

夸克禁禁闭机制是物理学中的一大难题。一个广为接受的禁闭机制是线性禁闭。过去的十年中，在超对称量子场论中出现了大量结构新颖、富有兴趣和挑战性的非线性偏微分方程问题。尽管场理论取得了很大成功，但是对这些问题的严格数学结果却并不多见。本项目中申请人将研究两大类出现于夸克禁闭机制中的非线性偏微分方程问题。第一类问题是关于统一非阿贝尔磁单极子和涡旋的相互作用的非线性方程组。我们将构造这类方程组的解并得到所期望的线性禁闭机制。第二类问题主要研究带色荷的(非阿贝尔)涡旋的控制方程组，这对对偶Meissner效应的实现是基本的，也是研究线性禁闭机制的一个起点。对这些方程组的深入研究不仅为夸克禁闭机制本身提供坚实的基础，而且为最终实现磁单极子、涡旋统一方程组解的构造铺平了道路。项目中发展的新思想和方法对其它领域出现的涡旋方程组也是有价值的，同时将加强数学和物理的相互促进，丰富和发展现有的偏微分方程理论。

夸克禁闭问题是当代理论物理研究的一个重大课题。自1994年Seiberg—Witten的著名工作发表以来，理论物理学家利用正反磁单级子在第二类超导体中由涡旋线产生的相互作用机制，发展出在超对称意义下由非交换正反“磁”单级子模拟正反夸克、由胶子（色）场意义下的涡旋线模拟磁涡旋线、由设想的Dual Meissner Effect 代替通常的超导体中的经典Meissner效应来产生正反夸克间的线性禁闭机制。在这一系列激动人心的研究中，理论物理工作者提出了几类描述新的Non-Abelian 涡旋解的控制方程组。对这些方程组的研究为数学工作者提出了若干复杂而富于挑战性的亟待解决的非线性椭圆型偏微分方程问题。本项目的主要课题就是发展这类方程组解的存在性与唯一性理论，并同时对相关课题进行研究。在本结项报告中，我们对几年来取得的成果汇报如下：我们在Non-Abelian Chern—Simons 涡旋解问题方面取得了领域中最一般情形下的解的存在与唯一性系列定理；在带杂质的涡旋解模型的研究方面，获得了Abelian情形下解的存在与唯一性定理并导出了一系列新的涡旋控制方程组；对宇宙学中的Friedmann 类非线性方程的求解问题进行了系统性的研究并获得了富有物理意义的几类新的宇宙膨胀解，特别是对对应于所谓“暗能量”的解得到一系列依赖于某些重要物理参数的描述；建立了激光涡旋的存在性和不存在性问题的基本条件和理论；证明了双曲型热瞬时子的存在性定理；得到了Skyrme 晶体的1维孤立子精确解和它的精确的能量值；建立了量子畴壁方程组的BPS约化问题的等价性理论；导出了一系列被2维经典场论方程涡旋解所遵循的半整数平方量子化能量恒等式；发展了在库仑力和量子Casimir效应作用力下MEMS静电激发器的临界曲线的存在性理论与计算方法；把石墨烯BCS超导理论临界温度的确定和计算方法推进到对经典BCS方程的相同程度；发展了一系列有效地确定量子引力理论中的光偏角的精确值和其逼近与计算的方法；提出了能够描述（血红）细胞膜的非各向同性性质由主曲率给出的能量泛函，并获得这种新的细胞膜能量泛函的基本的几何与拓扑性质，以及膜的形状方程, 其包含了Helfrich—Willmore方程作为最简单的零自发曲率的极限情形。

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