基于Teugels鞅和非线性期望的部分信息随机控制及其应用

Financial models with jump and nonlinear expectation theory are two of the most discussed topics in financial mathematics in these days. Focusing on those two topics and by utilizing the theories of Teugels martingales and g-expectation, this study is designed to explore the theory and applications of stochastic control problems which are closely related to practical issues in finance industry. The concrete research contents include:(1) in the framework of the g-expectation, studying the non-Markovian optimal control and differential game problems driven by Teugels martingales with partial information, establishing the maximum principle and verification theorem for optimal control and Nash equilibrium point, and providing the state feedback of the linear quadratic optimal control and the existence and uniqueness of the solution to the corresponding backward stochastic Riccati equation. (2) studying the risk minimization portfolio driven by Teugels martingales with partial information, describing this problem as the optimal control problem of forward-backward stochastic systems under risk measures characterized by g-expectation, then obtaining the explicit solutions of the optimal investment strategys and optimal wealth processes for various common types of risk measures. (3) studying the optimal investment and consumption problem under model uncertainty and partial information, describing it as a differential game of forward-backward stochastic systems, then obtaining the explicit solutions of the optimal investment-consumption strategys and the optimal wealth processes for various common utility functions.

本项目围绕当前金融数学研究的两个热点--带跳金融模型与非线性期望理论，以Teugels鞅和g-期望为主要描述工具，深入研究与实际金融问题密切相关的随机控制理论及其应用。具体内容包括：(1) 在g-期望框架下，研究由Teugels鞅驱动的非马氏随机系统的部分信息最优控制和微分对策问题，建立最优控制和Nash均衡点的最大值原理、验证定理，并给出相应线性二次最优控制的状态反馈表示及倒向随机Riccati方程解的存在唯一性。(2) 研究由Teugels鞅驱动的、具有部分信息流的风险最小化投资问题，利用g-期望将其化归为正倒向随机系统的最优控制问题，并给出几种常见风险测度下的最优投资策略和最优财富过程的显式刻画。(3) 研究具有部分信息流和模型不确定性的最优投资消费问题，通过鲁棒策略将其转化为正倒向随机系统的微分对策问题，并就各类常见的效用函数给出最优投资消费策略和最优财富过程的显式刻画。

近年来，Lévy过程在金融数学研究中扮演了越来越重要的角色。本项目基于Lévy过程，重点研究随机最优控制和微分对策问题，并将其应用于金融工程中的风险最小化投资问题。获得的主要成果如下（1）研究了Lévy过程环境下正倒向随机微分方程随机最优控制问题，利用凸对变分和对偶原理获得了最优控制的最大值原理和验证定理，并将其应用到正倒向的线性二次最优控制问题，获得了最优控制的存在性和唯一性及其Hamilton系统的对偶刻画。（2）研究了Lévy过程环境下完全耦合的正倒向随机系统的开环双人非零和随机微分对策问题，在一个统一的框架下证明了开环 Nash 均衡点存在的一个必要条件 (随机最大值原理) 和一个充分条件 (验证定理)。（3）研究了由Teugels鞅驱动的、具有部分信息流的风险最小化投资问题，利用g-期望将其化归为正倒向随机系统的最优控制问题，并给出了几种常见风险测度下的最优投资策略和最优财富过程的显式刻画。(4) 研究了具有部分信息流和模型不确定性下的最优投资消费问题，通过鲁棒策略将其转化为正倒向随机系统的微分对策问题，并就各类常见的效用函数给出最优投资消费策略和最优财富过程的显式刻画。 本项目研究目标基本完成，在该项目资助下共发表论文12篇，完成论文6篇，项目组负责人唐矛宁和主要成员孟庆欣已经形成湖州师范学院的随机控制研究方向稳定的研究团队。主要研究成果发表在《中国科学A辑：数学》、 《数学年刊》、 《Applied Mathematics: A Journal of Chinese Universities》、 《Abstract and Applied Analysis》， 《Mathematical Problems in Engineering》、《SIAM Journal On Control And Optimization》、 《Automatica》、 《System & Control Letters》、 《Applied Mathematics & Optimization》、 《Journal of Computational and Applied Mathematics》、 《Stochastic Analysis and Applications》等重要学术期刊。

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