超对称可积系统与Lax-Darboux方案

The theory of supersymmetric integrable systems has been an integrated part of integrable theory and has been attracting much attention. The present project aims to consider the constructions of new supersymmetric integrable systems and realizes the Lax-Darboux scheme in the supersymmetric context..First, to find the supersymmetric analogues of classical integrable systems and present new examples of supersymmetric integrable systems, supersymmetrizations of Camassa-Holm type equations will be studied. The focus is to obtain the supersymmetric versions of Camassa-Holm equation and Degasperis-Procesi equation and Novikov equation in particular. Also, the extended supersymmetric generalizations of these systems are to be explored. .Second, the realization of the Lax-Darboux scheme is to be considered in the supersymmetric context. In this way, the continuum systems and semi-discrete systems and full-discrete systems of supersymmetric type are studied in a unified framework. The primary goals are the proper discretization of some well-known supersymmetric integrable systems, the constructions of super Yang-Baxter maps and the studies of their properties. In addition to N=1 supersymmetric systems, the project is meant to study N=2 supersymmetric integrable systems and develop their Lax-Darboux scheme directly in the N=2 framework.

超对称可积系统是可积系统理论的重要组成部分，得到了较大的发展。本项目旨在探讨超对称系统研究方向的热点问题，内容包括Lax-Darboux方案在超对称可积系统理论中实现、新型超对称方程如超对称Camassa-Holm (CH)型方程的构造与性质研究。.首先，项目以若干经典可积系统的超对称化及构造新的超对称可积系统出发点，以积累超对称可积系统理论进一步发展的研究素材为目标，用多种思想方法构造超对称CH类型方程，深入研究它们的可积性质。CH、 DP以及Novikov方程等的超对称化是主要目标。另外，还考虑这些方程的扩展型的超对称形式，特别是N=2超对称可积系统。.其次，项目研究超对称可积系统的Lax-Darboux方案，在统一的框架下探讨超对称可积系统的连续、半离散及全离散形式，将一些著名的超对称系统可积离散化，构造新的超Yang-Baxter映射，探讨相应的性质。

项目研究分为两个方面：超（对称）可积系统和经典可积系统。 .在超（对称）可积系统的研究中，借助于Wahlquist-Estabrook延拓结构理论, 通过构造Lax表示、递推算子、Hamilton结构及无穷多守恒律，证明了超对称非线性薛定谔(sNLS-B)方程的可积性；通过推导Backlund变换，得到了Kupershmidt多分量超KdV方程的Lax表示及离散可积系统；构造了超对称Two-Boson系统的Darboux和Backlund变换，将其应用到N=2, a=4超对称KdV方程，并导出了相关的半离散系统；构造了若干新的超可积系统，包括：超Sawada-Kotera、超Degasperis-Procesi、4-分量的超Camassa-Holm以及一些具有局域双Hamilton结构的超系统。.对于经典可积系统，我们的研究主要针对Camassa-Holm类型和短脉冲类型方程。我们研究了这类方程的Darboux和Backlund变换（DBT）构造及其应用。不同于通常的可积系统，这些方程的研究往往需要借助reciprocal型变换。事实上，它们的Backlund变换不仅包括了因变量的变换，也涉及自变量的变换，因此其构造是更为复杂和困难的问题。我们成功研究的方程包括：修正Camassa-Holm、2-分量Camassa-Holm、短脉冲、复修正短脉冲、Vakhnenko、Harry Dym及Geng-Xue方程等。同时，探讨了DBT的应用，构造了相应方程的多种类型的解。另外，我们也用Riemann-Hilbert方法研究了几个短脉冲类型的方程。.除外，我们的研究成果还有：Drinfeld-Sokolov-Satsuma-Hirota耦合KdV、Kulish-Sklyanin、广义混合非线性NLS、Kundu-Eckhaus及2-分量Kundu-Eckhaus、矩阵耦合无色散等系统的Darboux变换；Camassa-Holm类方程的定解问题、可积系统正族和负族的对偶性。

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