大数据处理中的约束张量逼近及其有效算法研究

Constrained tensor approximation can protect the space and time structure of big data and overcome the curse of dimensionality. It has some important applications in the field of signal and image processing, network traffic analysis etc. The project will study the theories and numerical methods of constrained tensor approximation in the big data processing, and its specific contents are as follows. (1) The structured low rank approximation of tensor will be studied. Based on the low rank representation of model-n matrix and rational function, the multiple and interdependent constraint conditions are characterized and the solvability theories are established. The structure-preserving iterative algorithm is designed by using the structure matrix low rank approximation agorithm or the optimization algorithm on the manifold. (2) The low rank approximation of tensor with missing elements will be studied. We will establish a new mathematical model, give the sharp perturbation bounds and define the condition numbers. The numerical algorithm will be designed via the relaxation technique and the nonlinear optimization technique on the Riemann manifold, and their numerical analysis and numerical experiments will be given. (3) The approximation solution of tensor equation will be studied. By making use of Krylov subspace method or multiple linear optimization technique on manifolds, the fast algorithms will be constructed, which can make full use of the structure tensor. The iterative acceleration techniques and preprocessing methods are also given. This project will have some new breakthrough in the solvability theories, perturbation theories and the numerical algorithms.

约束张量逼近可以保护大数据的空时结构，解决“维数灾难”，它在信号与图像处理、网络流量分析等领域中有重要应用。本项目致力于研究大数据处理中的约束张量逼近理论及其有效算法，具体内容如下：(1) 研究结构约束的低秩张量逼近问题，利用模-n矩阵的低秩表示和有理式函数刻画多重的、相互依赖的约束条件，建立可解性理论，借助于结构化矩阵低秩逼近算法或流形上的优化算法设计保结构迭代算法。(2) 研究元素缺失的低秩张量逼近问题，建立新的数学模型，给出精确的扰动界，准确定义条件数。借鉴松弛技术和黎曼流形上的非线性优化技术构造数值迭代算法，进行细致的数值分析和数值实验。(3) 研究张量方程的逼近解问题，利用Krylov子空间方法或流形上的多线性优化技术设计能充分利用张量结构的快速算法，构造迭代加速技术和预处理方法。本项目将建立可解性理论和扰动理论，设计高效稳定的数值方法，使该领域的研究工作有新的突破。

随着信息技术的迅速发展，我们面临分析和处理的数据具有维数高、规模大和结构复杂等特点，直接处理这些数据会破坏数据潜在的结构，发生“维数灾难”。约束张量逼近就是这样一种数据降维处理手段，它可以保护数据的空时结构，解决“维数灾难”，降低计算复杂度。本项目主要研究了三类大数据处理中的约束张量逼近问题，具体研究成果如下： . (1) 提出了结构化张量低秩逼近的有效算法。将对称张量低秩逼近问题转化成黎曼流形上的优化问题，设计了黎曼谱投影梯度方法求解这一问题。构造了非线性共轭梯度方法求解强Hankel张量逼近问题，设计了交替投影类算法进行求解。将非负张量低秩逼近问题转化成矩阵迹极小化问题，设计近端交替非负最小二乘方法求解，并构造了加速方法。得到了Q加权范数的新性质，构造了NSPG方法求解Q加权下相关系数矩阵低秩逼近问题，数值效果好。 . (2) 建立了新的元素缺失下低秩张量逼近的数学模型，给出了求解算法。建立了能反映实际问题的对称非负张量填充问题的数学模型，把问题转化为核范数极小化问题，设计ADMM方法进行求解，并给出了收敛性分析。设计了一种双变量非单调谱投影梯度算法，将该算法应用于半监督学习下的行为识别，新算法仿真效果好。. (3) 建立了几类张量方程的基本理论与方法。利用半张量积的性质，给出了半张量积下矩阵方程组有解的充分必要条件。设计了牛顿法求解张量平方根问题。研究了双线性系统中的广义Lyapunov方程的低秩逼近解，设计精确线搜索下的非线性共轭梯度方法进行求解。采用非精确交替方法求解Schatten q-范数下的广义Sylvester方程约束最小二乘问题。. 在该项目的支持下，项目组发表学术论文20篇，其中SCI收录16篇(一区6篇，二区5篇)，中文核心期刊论文4篇，出版学术专著1部，培养博士研究生1人，硕士研究生9人。项目组以第一完成人荣获“广西自然科学奖二等奖”。项目负责人段雪峰获得“广西杰出青年基金”资助，项目组主要成员李姣芬入选“广西千名骨干教师培养计划”。

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