各向异性圆板的Mindlin高阶板方程及其高频厚度振动研究

The analysis of high frequency vibrations of elastic plates with Mindlin higher-order plate theory is familiar to engineers because it is the theoretical foundation for the determination of structural parameters of quartz crystal resonators. Existing work are done for rectangular plates in Cartesian coordinates with the corrected Mindlin plate equations for the calculation of frequency spectrum of thickness-shear vibrations, including the consideration of complicating factors, to aid the design of quartz crystal resonators. By following the standard procedure of Mindlin, we shall derive higher-order plate equations for circular plates with truncation, correction, validation, and simplification for coupled equations of thickness-shear vibrations. The study starts from free vibrations of circular plates with free edges involving solving the coupled equations for the frequency spectrum and examining the frequency features of the dominant vibration modes. Solutions of differential equations will be obtained with the Frobenius method, and solutions in Bessel functions from the transformed equations will be used for comparison, making it possible to extend the analysis to overtone vibrations also. Finally, equations for the quartz crystal plates will be established and corrected, necessitating the transformation of equations with varying elastic constants by selecting curvilinear coordinates to equations with constant coefficients to enable the study of thickness-shear vibrations. The results of vibration analysis with Mindlin higher-order plate equations for circular plates can be verified with the finite element analysis and measurement of vibration mode shapes with laser interferromety technology.

弹性板高频振动分析的Mindlin高阶板理论是大家熟知的，它是石英晶体谐振器的结构参数选择的理论基础。现有工作基本上是在直角坐标系和矩形板进行的，经过修正的Mindlin高阶板方程可以求得剪切振动的频谱图，扩展到复杂因素效应的分析，为谐振器设计提供依据。我们将按照Mindlin建立的步骤，推导圆板高阶板方程，针对厚度剪切模态完成截断、修正和简化，获得剪切振动的耦合方程。研究将从周边自由的各向同性板开始，通过求解耦合方程得到相应的频谱曲线，并考察频率特征和主要振型。方程求解从Frobenius法开始，也将考虑利用变量代换求得Bessel函数解并作互相验证，方法也将扩展到高阶泛音模态的振动。最后，建立石英晶体圆板的Mindlin高阶板方程并进行简化，采用正交曲线坐标将方程转化为各向同性形式，利用已有求解方法来研究厚度剪切模态。圆板高频振动分析结果将利用有限元法和激光模态测试技术进行验证。

本项目是结合压电晶体谐振器高频振动的技术问题来提出的，涉及到各向异性材料圆板的高频振动耦合方程组的建立和求解。在项目进行期间，我们严格执行项目计划，围绕圆板的高频振动方程的建立、简化、求解和验证等方面开展了系统的研究工作。我们的核心目标是推导圆板的高阶Mindlin方程，并用它来分析各向异性石英晶体板的高频耦合振动，期望这些方程能够用于圆形晶体谐振器的分析与产品开发。我们的主要完成的工作在高阶板方程的推导和简化方面，得到了可以用于圆板高频振动分析的完整方程组，并结合完整的直角坐标系下的已有结果进行了验证。在各向异性圆板的厚度剪切耦合分析时，我们遇到了轴对称条件近似精度不足的问题，导致不能获得预期的结果。在这方面，我们需要继续探索新的研究方法。在研究各向异性圆板的高阶振动方程时，我们涉及到了计算不同切型的材料常数问题。这些结果除了用来构造耦合方程外，也可用于基于石英晶体板的谐振器的温频特性的分析。我们发现，石英晶体的理想切型除了我们熟知的AT和SC切外，还有我们计算出来的曲线上的多族切型，它们都具有理想的三次曲线温频关系，从理论上来讲可以制作具有不同的工作温度的高品质石英晶体谐振器。这是一个重要发现，对于石英晶体谐振器的开发有重要意义。进一步研究这些切型的性能，评估制作系列谐振器的可行性和必要性，是我们这一项目后续工作的关键内容，也是这项研究的关键成果。

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