Maxwell方程的局部保结构算法研究

Structure-preserving (SP) method for partial differential equations (PDEs) displays outstanding numerical stability and good performance in long-time simulations. Whereas, due to the restriction of appropriate boundary conditions, most of these SP method are not local SP method. Because the Maxwell's equations has definite physical background, we naturally expect that the obtained numerical algorithms can preserve the energy, momentum conservation laws and algebra structure in any time-space regions, not just in global computational domain. The fundamental objective of the program is to research the theory of local SP method and construct a series of local SP methods for the Maxwell's equations. The idiographic contents include several aspects as follows: extend the SP method to local SP method; give the conditions for applying local SP method; implement coresponding numerical analysis for the local SP mentod; compare the efficiency between the local SP method and SP method.

偏微分方程的保结构算法拥有优异的数值稳定性和较好的长时间数值模拟能力。但目前的保结构算法在研究偏微分方程时由于受到合适边界条件的限制，从而导致很多算法不是局部保结构算法。Maxwell方程有着深刻的物理背景，在研究其数值算法时，自然希望算法尽可能地使得方程的能量，动量以及代数结构等在任意时空局部得以保持，而不仅仅是在整个计算区域上得以保持。本项目试图研究Maxwell方程局部保结构算法构造的一般步骤和相关理论。具体内容包括：发展Maxwell方程的保结构算法到局部保结构算法；给出该方程适用局部保结构算法的条件；局部保结构算法的数值分析；局部保结构算法和现有的保结构算法的优劣比较。

传统保结构算法求解偏微分方程（组）时，往往需要系统具有合适的边界条件。但是实际问题中，合适的边界条件是很难得到满足的。因此，有必要突破边界条件对保结构算法应用的限制，拓展保结构算法的适用范围。许多偏微分系统具有局部守恒律，这些守恒律突出的优点是其与边界条件无关。因此，我们尝试为一些偏微分系统构造能够精确保持系统局部离散守恒律的算法，即局部保结构算法。. 与普通的偏微分系统不同，Maxwell方程具有局部变化量大，计算时要划分的网格多，要处理的数据量巨大等特点，因此对数值方法的稳定性、长时间积分的准确性和积分效率要求特别高。这些正是保结构算法的优势所在。本项目中我们试图将保结构算法引入到Maxwell方程的计算中，从而为其构造了局部保结构算法，具体包括多辛算法，局部保能量算法和局部保动量算法。具体研究内容和重要研究结果如下：. 基础理论研究方面，我们以典型的偏微分方程，如薛定谔方程和Boussinesq方程等为突破口，将其各种保结构算法所保持的整个时间层的结构推广到任意时空局部，建立了这些系统的局部保结构算法的相关理论。在Maxwell方程保结构算法构造方面，结合Maxwell方程自身特点和以上构造局部保结构算法的经验，我们发展了Maxwell方程的保结构算法到局部保结构算法，给出了该问题适用局部保结构算法的条件，并构造了多种局部保结构算法，如局部能量、动量守恒算法。此外，我们还分析了这些算法数值守恒性以及收敛性。数值实验方面，我们将以上所得局部保结构算法与传统保结构算法和其他数值算法进行了数值比较，结果表明所建立的局部保结构算法有更大的适用范围，且在绝大多数情况下获得更好的数值结果。. 本项目在为一些典型的偏微分系统构造局部保结构算法的基础之上，研究了Maxwell方程的局部保结构算法及其理论分析。由于系统的局部结构较全局结构更为本质，从而局部保结构算法能够更好地模拟系统的演化。因此，我们认为局部保结构算法能为一类偏微分系统的数值求解提供一个新的视角。

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