s-距离传递（有向）图的有限性猜想研究

Distance transitive (di-)graphs have highly symmetry, and are the important research objects in the field of groups and graphs. In 1983, Cameron et al. proved the finiteness conjecture of distance-transitive graphs: the number of distance-transitive graphs with given valency greater than two is finite. In 1993, Leonard and Nomura proved the finiteness conjecture of distance-transitive digraphs. Inspired by the proofs of above finiteness conjectures, that to give characterization and classification of general s-distance-transitive (di-)graphs, and then to give the proof of the finiteness conjecture, are the important problems considered by mathematicians in and abroad. Near-distance-transitive (di-)graphs is a special class of s-distance-transitive (di-)graphs such that s is equal the diameter of the (di-)graph minus one. This project is going to give the proof for the finiteness conjecture of near-distance-transitive (di-)graphs. By studying the characterizations and properties of distance-transitive (di-)graphs with small valency, basic 2-arc-transitive near-distance-transitive (di-)graphs and their covers, independent near-distance-transitive graphs, and distance matrices of near-distance-transitive (di-)graphs, we will then have deep research on near-distance-transitive (di-)graphs, and finally we will give the proof of the finiteness of near-distance-transitive (di-)graphs, which is the first and most important thing for the proof of the finiteness conjecture of general s-distance-transitive (di-)graphs.

距离传递（有向）图具有高度的对称性，是群与图领域非常重要的研究对象。1983年，Cameron等人证明了距离传递图的有限性猜想：给定度数大于2的距离传递图的个数有限。1993年，Leonard和Nomura证明了距离传递有向图的有限性猜想。受上述有限性猜想被证明的启发，对一般的s-距离传递（有向）图的性质研究和刻画分类, 并由此给出其有限性猜想的证明成为国内外数学家关注的重要问题。接近距离传递（有向）图是一类特殊的s-距离传递（有向）图，它满足s等于图的直径减一。本项目拟通过对小度数接近距离传递（有向）图、基本的2-弧传递的接近距离传递（有向）图及其覆盖、独立的接近距离传递图、以及接近距离传递（有向）图的距离矩阵的刻画和性质研究，对接近距离传递（有向）图进行深入研究，从而给出接近距离传递（有向）图有限性证明，为解决一般的s-距离传递（有向）图的有限性猜想提供理论方法和工具。

距离传递（有向）图具有高度的对称性，是群与图领域非常重要的研究对象。在上世纪八十年代，Cameron等人证明了距离传递图的有限性猜想。1993年，Leonard和Nomura证明了距离传递有向图的有限性猜想。受上述有限性猜想被证明的启发，对一般的s-距离传递（有向）图的性质研究和刻画分类, 并由此给出其有限性猜想的证明成为国内外数学家关注的重要问题。接近距离传递（有向）图的对称性与距离传递（有向）图的对称性最为接近，从而其有限性猜想也最有希望被证明。本项目的主要研究目标就是完成接近距离传递（有向）图的有限性猜想。..项目进展顺利，已部分地完成了预期目标，并且对s-距离传递（有向）图的结构和性质有了更进一步的认识，为最终解决有限性猜想、完成预期研究计划起到了重要的推动作用。特别地，我们给出了接近距离传递（有向）图的归约引理和一般s-距离传递（有向）图的归约理论。这些归约结果不仅对我们研究有限性猜想有重要的作用，还可以将s-距离传递（有向）图的其它问题都化归为覆盖的对应问题，此时我们覆盖的理论同样可以起到关键作用，从而有重要的应用前景。传统的覆盖方法都有局限性，我们用群作用的方法更灵活，特别是给出了直积型中心覆盖、局部本原的弧传递图的中心覆盖、以及2-弧传递图低秩覆盖的截断刻画等。这些覆盖理论不仅可以帮助我们研究有限性猜想，还将应用到2-弧传递图的直积型覆盖和中心覆盖的刻画和相关构造、一般对称图的低秩覆盖的相关理论、拟本原群上的2-弧传递凯莱图的刻画和分类等更广泛的对称图问题上。此外，我们还给出了小度数分类中的具体情形的刻画，独立的接近距离传递图的结构和性质更为精细的刻画，二面体群上凯莱图的哈密顿分解，距离正则图距离矩阵的性质和刻画等方面的结果。项目执行期间完成了相关论文，与国内外同行进行了相关交流和研讨。由于该猜想难度稍大，预期研究计划对此形势有所低估；不过目前理论准备已经比较充足，下一步有望完成有限性猜想及相关研究工作。

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