复杂网络传播动力学的数学分析

Transmission dynamics on complex networks is mainly to characterize spreading behaviours and evolutionary rules of infectious disease or information taking place on special networks. It depends on both the network structure dynamics and the mechanism of the disease or information spreading, and has received widespread attention. However, a common problem in current research is the lack of mathematical theory and analysis in studying networked transmission dynamics. The essential reason is that the inclusion of network structure results in the randomness of the system and the increased model dimension. To this end, by employing theories of probability and statistics, stochastic processes and graph theory, we will study structure parameters (including degree distribution, correlation coefficient, clustering coefficient, cluster/clique coefficient, betweenness and so on), and how these parameters are incorporated into spreading dynamical systems with regular and random networks, static complex networks, dynamical networks, and coupled networks. Then, we will build several typical spreading dynamical models and analyze their dynamical behaviours by using the stability theory, matrix theory, differential equations, bifurcation theory, spectral theory and the theory of reaction-diffusion equations. We aim to obtain the appropriate characterization of structure parameters in spreading dynamical system, solve the theoretical analysis in spreading dynamical systems and key technique in the proof, and reveal the fundamental influence of different network structures on transmission dynamics. In this proposal, the ultimate goal is to establish a comprehensive mathematical framework for studying the networked transmission dynamics, and provide a theoretical basis for the applications of the spreading of disease or information on networks.

网络传播动力学主要是用动力学的方法分析特定网络上传染性疾病或信息的扩散机制及演化规律，它既依赖于网络的结构动力学又依赖于疾病或信息的传播机制，该方面研究已受到广泛的关注。但现有研究存在的共同问题是数学理论分析和证明不足，其根本原因是网络结构的引入带来了系统的随机性与模型维数的增加。为此，本项目将综合利用概率统计、随机过程及图论等来刻画网络的度分布、相关系数、聚类系数、团簇系数、介数等结构参数；针对规则与随机、静态与动态及耦合等网络研究结构参数在传播动力系统中的表征，以此建立几类典型的网络传播动力学模型；利用稳定性、分支、谱及反应扩散方程等有关理论进行数学分析和证明。该研究拟给出结构参数在传播模型中的恰当表征，解决网络传播动力系统理论分析和证明中的关键技术，揭示不同网络结构对传播动力系统的本质影响，最终建立复杂网络传播动力学的基本理论框架，为网络上疾病或信息传播的应用研究提供可靠的理论依据。

本项目主要围绕如何建立复杂网络传播动力学的基本理论框架，为网络上疾病或信息传播的应用研究提供可靠的理论依据等现实需求，立足科学前沿，开展了深入研究和集体攻关。. 在执行期内，围绕研究计划和内容，主要从以下6个方面，深入开展了理论和数值定量研究工作，实现了预期目标：1）复杂网络结构刻画研究：通过建立网络演化模型，刻画了双层网络的拓扑结构性质，并建立了依赖于度和时间的网络节点数量变化的偏微分方程，提出了识别划分关键节点新的网络重构方法；2）规则和随机网络上传播动力学分析：给出了对逼近网络传染病模型的完整动力学分析，建立了基于连边的网络三阶模体逼近公式，提高了逼近精度，并比较了不同逼近方法对传染病传播的影响。3）静态复杂网络传播动力学分析：通过对半有向网络的结构分析，建立了统一的传播动力学模型框架及理论。进一步分别将相关系数、聚类系数以及时滞等多种因素引入网络传染病模型，研究了网络拓扑特征量及个体感染和康复的异质性对传染病传播的影响；4） 动态复杂网络传播动力学分析：建立了同时具有出生死亡与年龄结构等人口动力学因素的网络传染病模型，为不同传染阶段制定不同的治疗或者控制措施提供了理论依据。进一步给出了动态自适应网络上传染病模型的完整数学分析和各种分支发生的充要条件；5）耦合网络传播动力学分析：研究了社团结构网络上具有生死和人口迁移、重叠网络上带有串联和切换两种传播机制等新型的耦合网络传播模型，进一步研究了耦合多层网络上传染病与信息交互影响；6）网络传播动力学的应用研究：用网络传播动力学新方法研究了HIV、H7N9、埃博拉及布鲁氏菌病等现实传染病的传播特征及控制策略。. 自项目执行以来，在J Differ Equations, SIAM J Appl Math, J Math Biol等期刊发表学术论文152篇，其中SCI收录138篇，出版著作《网络传染病动力学建模与分析》、《网络传染病动力学新进展》2部，合著《Complex Systems and Networks- Dynamics, Controls, and Applications》1部（第三章，第五章）。2014年获得教育部高等学校科学研究优秀成果奖（自然科学）二等奖，2016年获得山西省科学技术（自然科学类）一等奖。

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