基于部分线性模型的随机偏微分方程辨识方法研究

The objective of system identification of stochastic partial differential equation is to reconstruct the unknown stochastic differential equations based on the observation data of corresponding stochastic distributed parameter system.It can be considered as a kind of "inverse" research for stochastic partial differential equations.In the previous work, the identification problems are conventionally considered in the framework of nonlinear auto-regressive network with exogenous model, and the identification techniques for stochastic ordinary differential equations are directly employed,some particular problems for identification of stochastic partial differential equations could not be solved in this framework. We introduced the numerical theory of stochastic partial differential equations into the corresponding research, found that the unknown stochastic partial differential equations and partially linear model are theoretically correlated. Thus, this project proposes "The Partially Linear Model Analysis for System Identification of Stochasitc Differential Equations" to solve the problems of this research area that has been widely concerned: To obtain the approximation error of the partially linear model to the original stochastic partial differential equations and the corresponding complexity index; To investigate the identification problems under the restriction of irregular observation locations with the help of finite element method; by using limiting distribution theory, to derive the statistical characteristics of state estimator for stochastic differential equations derived by kernel learning method; based on the confidence interval of the estimator, to develop proper "information update strategy", then propose new efficient online identification method for stochastic partial differential equations.

随机偏微分方程的系统辨识是利用随机分布参数系统的观测数据去重构描述这个系统的未知的随机偏微分方程，它可以看作是对随机偏微分方程的"反向"的研究。现有的辨识方法是在非线性自回归模型架构下将集中参数系统中的辨识建模方法平行的推广过来，因而无法解决随机偏微分方程系统辨识研究中一些特有的问题。我们在分析中发现：基于定性理论与数值理论，部分线性模型与随机偏微分方程有着紧密而有趣的联系。因此,本项目提出"随机偏微分方程系统辨识的部分线性模型分析法"来研究此领域中当前的一些热点问题：利用有限元方法和数理统计理论给出部分线性模型的逼近误差并建立判定模型复杂度的性能指标；提出"逆有限元方法"研究"数据采样点空间分布不均匀"情况下的辨识问题；利用极限分布理论，研究核学习方法下系统状态估计量的统计学性质；以状态估计量的置信区间为基础，提出适合的"信息更新"策略，进而发展有效的随机偏微分方程在线辨识方法。

随机偏微分方程的系统辨识是利用随机分布参数系统的观测数据去重构描述这个系统的未知的随机偏微分方程，它可以看作是对随机偏微分方程的“反向”的研究。现有的辨识方法是在非线性自回归模型架构下将集中参数系统中的辨识建模方法平行的推广过来，因而无法解决随机偏微分方程系统辨识研究中一些特有的问题。我们在分析中发现：基于定性理论与数值理论，部分线性模型与随机偏微分方程有着紧密而有趣的联系。因此,本项目提出“随机偏微分方程系统辨识的部分线性模型分析法”来研究此领域中当前的一些热点问题。在本项目的自主下，申请人顺利完成了预定相关内容的研究，提出了一些关于偏微分系统辨识问题的新的辨识数值模型和对应的机器学习算法。我们的研究成果集中在以下几个方面。 我们的研究成果集中在以下几个方面。 第一，利用差分方法，提出了一个新的基于推广的部分线性模型的核学习方法。这个新的方法能较大幅度的提高偏微分系统的辨识的精度，并为进一步研究基于核学习方法的随机偏微分动力学系统的数值最优控制方法提供了算法和模型基础。第二，基于鲁棒最优控制理论提出了一个针对重构希尔伯特核空间学习的一个全新的参数更新计算方法，该方法不仅能够实现对快速时变随机非线性系统的适应性在线学习，也能够用来高效的对系统中可能存在的非高斯噪声进行滤波。第三，得到了一个新的针对时滞偏微分方程的可控性结果，由于引入了新的泛函空间，与以往的结果相比，它能处理更复杂的非线性时滞方程可控性问题，而且所得的方法有对研究对基于控制论思想的偏微分系统机器学习方法有潜在的理论价值。第四，提出新的基于核空间理论的非线性函数导数估算方法和基于无网格理论的基于部分线性模型框架的偏微分系统模型，解决了针对时间空间不规则观测数据下的偏微分系统辨识问题。

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