求解特征值问题的基于围道积分的方法的研究

Large-scale generalized eigenvalue problems arise in various areas of science and engineering, such as quantum chemistry, structural mechanics and so on. In practical applications, it is not the whole spectrum but rather a significant part of it is of interest to the users. However, computing a number of interior eigenvalues of a large problem remains one of the most difficult problems in computational linear algebra today. Recently, some scholars proposed contour-integral based eigensolvers, which can be used to compute the eigenvalues inside a given region in the complex region along with their eigenvectors. This kind of methods are always effective, stable and scalable, and thus become a hot research field. In this project, we will make an intensive study on the problems of this kind of methods that arise in practical implementations. Firstly, we will study how to extend the contour-integral methods which are only applicable for the Hermitian problems to non-Hermitian cases. Secondly, in many applications, only the number of eigenvalues inside a given region but rather the eigenvalues themselves are desired to the users. Another problem that the contour-integral based method encountered in practical applications is that they have to know the number of eigenvalues inside the given region in advance. In this project, we will develop a contour-integral based method for computing the number of eigenvalues inside a prescribed region, which can help the contour-integral based eigensolvers to implement in practical applications.

在科学与工程计算中，大量的问题涉及到矩阵特征值的计算，比如量子化学，结构力学等。在实际应用中，往往感兴趣的只是位于某一特定区域内的特征值及其特征向量。然而计算矩阵的内部特征值依然是当今计算数值代数领域最困难的问题之一。最近有学者提出了一类基于围道积分的特征值求解方法用来计算复平面上任一区域内的特征值及特征向量。这类方法具有高效、稳定、并行可扩展性的特点，成为目前特征值算法研究的热点。本项目针对此类方法在实际应用中出现的问题展开研究。首先研究将此类型方法中只适用于Hermitian问题的算法推广到non-Hermitian问题，提高算法的适用性。其次，在很多实际问题中，需要知道的是特征值个数而不是特征值本身。基于围道积分的特征值求解方法实际使用时需事先知道目标区域内特征值的个数。为此，本项目将研究一类基于围道积分的计算区域内特征值个数的方法，完善基于围道积分的特征值求解方法的实用性。

计算矩阵的内部特征值依然是当今计算数值代数领域最困难的问题之一。最近有学者提出了一类基于围道积分的特征值求解方法用来计算复平面上任一区域内的特征值及特征向量。这类方法具有 高效、稳定、并行可扩展性的特点，成为目前特征值算法研究的热点。基于围道积分的特征值求解方法有两个类别：CIRR方法和FEAST方法。然而这两类方法的推导都基于所涉及的问题是Hermitian的情况，当他们直接运用到non-Hermitian问题，可能遭遇失败。在本项目中，我们成功的将CIRR推广到非Hemitian的情况，并给出理论证明和收敛性分析，提高了CIRR方法的适用性。另外我们提出了一类更加稳定的non-Hermitian版本的FEAST方法，并对基于斜交投影技术的non-Hermitian的FEAST方法的收敛性分析。我们新的方法保留了原方法的优点，但并不增加计算量。在很多实际的问题中，不需要计算位于某区域特征值和特征向量，而需知道区域内是否有特征值，或有几个特征值。对于Hermitian的情况，有一类基本惯性定理的标准的计算某区域内特征值个数的方法。本项目另一个工作是提出一类基于围道积分计术计算平面上某区域内特征值个数的方法。据本人所知，这是第一类计算非Hermitian矩阵平面上某区域内特征值个数的方法。

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