双有理手术下的曲线计数理论

During the last two decades, curve counting theories have become important in algebraic geometry, symplectic geometry and mathematical physics, and the study of their behavior under geometric surgeries has attracted the attention of both mathematicians and physicists. In this project, we will study the transformation of Gromov-Witten and Donaldson-Thomas theories under birational surgeries. For Gromov-Witten, we plan to study the quantum minimal model conjecture, and the change of simisimplicity of quantum cohomology under blow-ups. For Donaldson-Thomas, we expect to establish flop formulae, which will provide a possible way to understand the conjectural GW/DT correspondence.

近二十年来，曲线计数理论成为了代数几何、辛几何与数学物理中的重要研究方向，对其在几何手术下的变化行为的研究吸引了数学家与物理学家的注意。在本项目中，我们将研究Gromov-Witten理论与Donaldson-Thomas理论在双有理手术下的变化情况。对于Gromov-Witten理论，我们计划研究量子极小模型猜想，以及量子上同调的半单性在blow-up下的变化。对于Donaldson-Thomas理论，我们期望建立flop公式，这将提供一种理解GW/DT猜测的可能途径。

本项目的研究方向是曲线计数理论，特别是希望从双有理角度理解相关理论。曲线计数理论中最重要的方向之一是Gromov-Witten理论，其亏格零部分给出了量子上同调。该方向中的量子极小模型猜想期望两个K-等价的代数簇的量子上同调在解析延拓后是同构的。为了理解这个猜想，首先应该研究Gromov-Witten理论在blow-up下的变化。在复三维情形，我们得到了若干高亏格Gromov-Witten不变量的blow-up公式，并从广义BPS数角度对这些公式给出了符合枚举几何预期的解释。相较于普通上同调，量子上同调有可能是半单的，数学家对于具有半单量子上同调的Gromov-Witten理论得到了许多深刻的结果。一个自然的问题是如何从几何上刻画具有半单量子上同调的代数簇（Dubrovin猜想）。对于一维orbifold，我们证明了orbifold版本的Dubrovin猜想。对于Fano流形，数学家提出了猜想O与Gamma猜想I、II。这是最近量子上同调领域比较受关注的猜想。我们证明了二维Fano流形与射影空间中的完全交流形满足猜想O与Gamma猜想I。量子上同调是关于辛结构的形变不变的。最近数学家利用微分形式构造了辛流形上一族新的上同调（filtered cohomology）。我们证明了这些上同调满足Poincare类型的对偶性。曲线计数理论中的另一个重要方向是Donaldson-Thomas理论。对于沿(-2)-曲线的flop，我们证明Donaldson-Thomas不变量的flop公式，这位著名的GW/DT猜想提供了正面证据。

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