基于空间异质的交叉扩散捕食系统的分支结构与斑图模式研究

This project is mainly concerned with the dynamic behaviors of the redator-prey models with cross-diffusion in a spatially heterogeneous environment. Some existing results on the multiplicity, uniqueness and stability of the models are supplemented and perfected by the bifurcation theory and the nonlinear function analysis theory. We study on the criteria for the occurrence and disappearance of Turing instability, and consider that the sufficient conditions of the existence of the Hopf bifurcations or Turing bifurcations of models, and establish the amplitude equations close to the onset of the bifurcations. By Matlab software, we establish efficient algorithms for aieded analysis on the spatiotemporal dynamic behaviors of the predator-prey models, and we compute critical bifurcation points of the Hopf and Turing and simulation the mechanism of the pattern formation and selection mechanism, and we describe the distribution structure of the species. Some biological phenomena and rules are explained and revealed, the research contents of reaction diffusion models will be enriched and improved.

本项目旨在研究一类具有空间异质交叉扩散捕食-食饵反应扩散模型的动力学行为。利用分支理论和非线性泛函分析等相关理论补充完善该类模型正解的多解性、唯一性和稳定性。研究模型Turing失稳发生和消失的判别条件，推导分支(Hopf或Turing)产生的判定定理，建立模型在分支临界处的振幅方程。借助Matlab软件，建立辅助分析捕食模型时空动力学行为的高效能算法，计算产生Hopf和Turing临界分支点，模拟模型斑图模式和选择机制，刻画种群在空间扩散后的分布结构。为解释和揭示种群生命现象和规律提供依据，丰富反应扩散方程相关研究内容。

本项目旨在研究一类带有扩散捕食-食饵反应扩散模型的动力学行为。利用分支理论和非线性泛函分析等相关理论补充完善该类模型正解的存在性、唯一性、多解性和稳定性。研究模型Turing失稳发生和消失的判别条件，推导分支(Hopf或Turing)产生的判定定理，建立模型在分支临界处的振幅方程。本项目通过深入分析捕食模型的动力学行为得到了主要研究进展、重要结果概括如下:1.完善了交叉扩散对捕食模型的动力学行为的影响，阐述了交叉扩散项对模型的共存区域的变化是有影响的，可以使物种在更大范围内共存；2.讨论了Allee效应对捕食模型的动力学行为，借助奇异扰动理论得到了原系统正解的存在性与多解性；3.讨论了时滞项对捕食模型Hopf分存在性和稳定性的影响；4.讨论了一类具有修正捕食模型的动力学行为，建立了系统正解的存在性、唯一性、多解性和稳定性。通过本项目的研究得到了处理一般捕食系统的方法，借助度理论和分歧理论建立模型存在性、唯一性和多解性，借助谱理论得到解的稳定性，此方法在理论上具有广泛的应用性。截止目前已经在《Mathematical Methods in the Applied Sciences》（SCI）、《工程数学学报》、《数学物理学报》等期刊发表4篇论文，其中SCI期刊发表学术论文1篇，核心期刊发表3篇论文，目前正在培养的研究生6名。

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