非线性半定规划的SQP和QP-free算法研究

Nonlinear semidefinite programming aims to minimize a real value function with nonlinear semidefinite matrix constraints. Nonlinear semidefinite programming has broad applications in optimal constructure design, optimal robust control, communication, financial investment, and so on. The research on nonlinear semidefinite programming is one of current research focuses in the international optimization fields. This project mainly studies sequential quadratic programming (SQP for short) algorithms and sequential systems of linear equations (QP-free for short) algorithms for nonlinear semidefinite programming, and implements the proposed algorithms by numerical experiments. We will study SQP algorithms which are based on new kind of Armijo monotonic line search and SQP algorithms without a penalty function or a filter which are based on new kind of nonmonotonic line search, and analyze and prove global convergence and superlinear convergence. We will study QP-free algorithms based on new kind of Armijo monotonic line search and QP-free algorithms without a penalty function or a filter which are based on nonmonotonic line search, and show global convergence and superlinearly convergent rate. We will investigate the construction of quadratic semidefinite subproblems and systems of linear equations to yield master search directions and second-order correction directions. We will also study the applications of the proposed algorithms in optimal constructure design and optimal robust control.

非线性半定规划是指求一个实值函数在带有非线性半定矩阵约束情况下的最小值问题。非线性半定规划在最优结构设计、最优鲁棒控制、通信和金融投资等领域有广泛应用，是近年来国际最优化领域的一个研究热点。本项目旨在研究非线性半定规划的序列二次规划（简记SQP）和序列线性方程组（简记QP-free或SSLE）算法，并进行算法实现。我们将研究非线性半定规划的基于新型Armijo单调线搜索的SQP算法和基于非单调线搜索的无罚函数无滤子的SQP算法，分析证明算法的全局收敛性和超线性收敛性；研究非线性半定规划的基于Armijo单调线搜索的QP-free算法和基于非单调线搜索的无罚函数无滤子的QP-free算法，分析算法的收敛性和收敛速度；研究产生主搜索方向和二阶修正方向的二次半定子问题与线性方程组的构建；我们还将研究非线性半定规划的SQP和QP-free算法在最优结构设计和最优鲁棒控制中的应用。

非性半定规划在最优结构设计、最优鲁棒控制、通信和金融投资等领域有广泛应用。本项目主要研究非线性半定规划的序列二次规划（简记SQP或SSDP ）算法和序列线性方程组（简记QP-free）算法。.在项目实施的初期，我们研读了近几年国际上求解非线性半定规划的一些新算法，包括增广Lagrangian函数法、序列半定规划法、序列线性方程组法以及交替方向乘子法，完成并发表了一篇综述文章“非线性半定规划若干算法介绍”，在该论文最后我们对非线性半定规划的算法研究前景也进行了探讨。.我们研究了产生主搜索方向和二次修正方向的二次半定规划子问题的构造，解决了子问题相容性问题；我们研究了新的线性方程组的构造，并构建了新型Armijo单调线搜索以提高算法的数值效果。基于这些新构建的子问题或线性方程组，以及新的线搜索技术，我们建立了非线性半定规划一个超线性收敛的SSDP算法和一个全局收敛的QP-free算法。在合理的假设条件下我们分析证明了新算法的全局收敛性和超线性收敛性。我们对新算法进行了数值试验，数值结果表明新算法是有效的，而且对某些问题的求解数值效果好于现有的一些算法。 .我们研究了非单调线搜索的构造，该非单调线搜索保证目标函数下降或约束违反度函数的下降。基于该非单调线搜索，我们建立了非线性半定规划两个全局收敛的无罚函数无滤子的SSDP算法和一个全局收敛的无罚函数无滤子的QP-free算法。这些算法的初始点均是任意的。在算法中我们没有使用罚参数和滤子，使得算法结构简单且数值稳定性更好。在合理的假设条件下我们分析证明了新算法的全局收敛性。我们对新算法进行了数值试验，数值结果表明这些新算法是有效的，而且对某些问题的求解数值效果优于现有的一些算法。 .同时，我们还研究了一类特殊的非线性半定规划即凸二次半定规划的求解。凸二次半定规划在经济、金融、工程设计等领域有广泛的应用。基于产生搜索方向的线性方程组的不同构建，我们建立了凸二次半定规划三个不同的原始对偶路径跟踪算法。

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