随机赋范模中若干对偶性变换的表示

In the last 20 plus years, in the directions of random functional analysis and random convex analysis, random normed modules theory and its applications have undergone a systematic and deep development. This project continues to study random normed modules theory in both the two directions. Motivated by the recent work on the representations of some duality transforms in R^n and general Banach spaces, this project is devoted to study representations of some duality transforms in complete random normed modules. First, we study representations of duality transforms acting on the class of L^0-convex functions defined on the random normed module L^0(F,R^n) of equivalence classes of R^n-valued random variables. Then, we study representations of duality transforms acting on the class of L^0-convex functions defined on a general complete random normed modules. Finally, we study representations of some other kinds of important duality transforms in random normed modules.

在过去的二十多年里，沿着随机泛函分析与随机凸分析两大发展思路，随机赋范模理论及其应用取得了系统而深入的发展。本项目继续沿这两大思路发展随机赋范模理论。受最近关于R^n以及一般Banach空间上若干对偶性变换的表示方面工作的启发，本项目将致力于研究完备随机赋范模中若干对偶性变换的表示。首先，我们将研究由R^n-值随机变量等价类构成的L^0(F,R^n) 这一重要的随机赋范模上L^0-凸函数类上的对偶性变换的表示。接着，我们将研究一般的完备随机赋范模上L^0-凸函数类上的对偶性变换的表示。最后，我们将研究随机赋范模中若干其他的重要的对偶性变换的表示。

随机赋范模等随机空间框架上的随机凸分析是当前随机赋范模理论发展的主要方向之一。本项目主要研究随机赋范模上全体下半连续L^0-凸L^0-值函数构成的L^0-凸锥之间的完全逆序以及完全保序算子的表示问题。我们在最基础的随机赋范模，n维实值随机变量（等价类）构成的空间(L^0)^n上开展研究，完整给出了其上全体下半连续L^0-凸L^0-值函数构成的L^0-凸锥到自身的完全逆序以及完全保序算子的表示，表明前者本质上是随机共轭变换，后者本质上是恒等变换。这一结果突出了随机凸分析中随机共轭变换的基础作用。我们也提出了L^0-凸紧性的概念，研究了随机赋范模和随机局部凸模中L^0-凸子集为L^0-凸紧的特征刻划，最后成功给出了L^0-凸紧概念在随机凸优化以及随机变分不等式解的存在性问题上的应用。

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