环上元素的几类广义逆及其正则性、clean 性

Moore-Penrose inverses and Drazin inverses are two types of important generalized inverses, which have been widely used in the fields of complex matrices, Banach algebras, C*-algebras, rings and so on. Moore-Penrose inverses and Drazin inverses are closely related to *-regular elements and strongly pi-regular elements, respectively. Recently, several types of new introduced generalized inverses bring vitality to the development of the theory of generalized inverses. The cleanness of rings plays an important role in the theory of the ring-module, the C*-algebra and the theory of generalized inverses in rings. This project devotes to the research of generalized inverses of elements in rings and their regularites and cleannesses. The main contents include: The connection between generalized inverses of elements of rings and their regularities and cleannesses, and the obtained results will be used to classify rings. Characterizations and relations among several new types of generalized inverses in rings. The property and the computation of e-core inverses, Mary inverses and hybrid (b,c)-inverses. Also, the related results of generalized inverses will be applied to Banach algebras and C*-algebras.

Moore-Penrose逆、Drazin逆是非常重要的两类广义逆，在复矩阵、Banach代数、C*-代数、环论等相关领域中有着重要的应用。Moore-Penrose逆、Drazin逆分别与*-正则元、强pi-正则元有着密切的联系。近年来, 几类新引入的广义逆为其发展注入了新的活力。环的clean性在环模理论、C*-代数和广义逆理论中扮演着重要的角色。本项目拟对环上元素的广义逆及其正则性、clean性进行研究。主要内容包括：建立环中元素的广义逆与正则性、clean性的联系, 并将所得结果对环进行分类。环上几类广义逆之间的联系及其存在性刻画。环中元素的e-核逆、Mary逆及混合(b,c)-逆的性质与计算，并将相关结果应用到Banach代数与C*-代数中。

广义逆是20世纪矩阵理论中的一项极为重要的新发现, 可以追溯到1903年Fredholm在研究积分方程的过程中提出的积分算子的广义逆，广义逆理论在最优化、数理统计、算子理论、经济学和计算数学等众多数学分支和工程科技领域发挥了重大作用, 尤其在研究 Markov链、病态问题、测量学、统计问题、控制论与神经网络等问题的过程中，广义逆是十分重要的研究工具。本项目以环和元素的正则性为线索,把环论、模论以及广义逆等理论中的众多概念和公开问题串联起来,综合运用经典环论中的方法，解决了国外同行提出的一些问题。讨论了元素的广义逆和正则性之间的联系；给出了环中元素的几类广义逆与clean性的关系；引入了加权伪核逆和伪DMP逆的概念，并给出等价刻画和一些例子；对美国学者M.P. Drazin 在1992年提出的（Drazin逆的提出者）的一个公开问题，给出了肯定的答案，并取得了一些新成果；提出了W-核逆、单边W-核逆、W-核偏序与(b,c)-核逆等概念，为一些独立的概念提供了统一的框架，扩大了现有的广义逆理论；考虑了元素的suitable性与Sylvester方程的关系，并用一类Sylvester方程的可解性刻画了元素的正则性，在混合(b,c)-逆方面，回答了Drazin在2012年的几个问题，并给出了一些具体的应用。

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