关于有限维非线性滤波分类和多项式滤波问题的研究

Around 1980, Brockett et. al. proposed to investigate the classification of the finite-dimensional estimation algebras associated with the nonlinear filtering model. Mitter conjectured that the observation term has to be polynomial of degree at most one if the associated estimation algebra is finite dimensional. The applicant and his collaborators studied and completed the classification of the finite-dimensional estimation algebra with maximal rank. Hessian matrix non-decomposition theorem was also used in a crucial way in the proofs. Furthermore, together with his students, he classified the low-dimensional estimation algebra without maximal rank in a series of papers since 1990s. One of the topics in this proposal is to completely classify the general finite-dimensional estimation algebra with arbitrary given dimension, and to verify Mitter's conjecture. After this complete classification, the applicant believe that we could discover more new classes of finite-dimensional nonlinear filter, which is practical in real applications. However, not all the nonlinear filters are finite-dimensional, for example the well-known cubic sensor problem, which has been rigorously shown to be essentially infinite-dimensional. Motivated by the extended Kalman filter and the Gaussian sum filter, the applicant proposed to formulate an optimal or suboptimal filter for the polynomial filtering problems by imposing suitable conditions on the central moments of the real states. These conditions can reduce the infinite many numbers of stochastic differential equations to a system of finite many number of equations, which is in closed-form. The applicant proposed to use the Monte Carlo simulations and the statistic methods to justify the consistency of the new algorithm.

1980年前后，Brockett等提出研究与非线性滤波相关的有限维估计代数的分类。之后，Mitter猜想有限维非线性滤波的观测函数必定是至多一次的多项式。 申请人及其合作者完成了具有最大秩的有限维估计代数的完全分类，并从上世纪90年代开始，和其学生在分类低维数的估计代数方面做了一系列工作。本项目的研究内容之一是对任给维数的有限维估计代数分类，并证明Mitter猜想的正确性。在完全分类了有限维估计代数的基础上，申请人相信能够发现更多的具有实际应用意义的新的有限维非线性滤波。另一方面，不是所有非线性滤波都是有限维的。如已被理论证明为本质无限维的非线性滤波- - 三次方滤波问题。受扩展卡尔曼滤波以及高斯和滤波的启发，申请人提出研究如何合理地为高阶中心矩添加条件，将无限多个高阶中心矩的随机微分方程转化为有限多个封闭可解的微分方程组。申请人将采用蒙特卡罗实验和统计的手段验证新算法的一致性。

非线性滤波起源于跟踪和信号处理问题，然而发展到今天，非线性滤波无处不在，其研究模型也被大大扩展，许多复杂的动态模型都可以用随机过程来描述。滤波问题的核心目标是基于被噪声污染的观测，来迭代地获取动态系统的状态的最优估计。.我们在这个项目中针对非线性滤波问题展开了一系列的研究，我们的研究内容主要包括三个部分：第一个部分是对有限维非线性滤波问题，不仅在低维的情况下，而是对任给的有限维估计代数进行完全分类，并构造出任意维状态值的任给维数估计代数对应的新的有限维非线性滤波；第二个部分是关于如何构造求解无限维多项式滤波问题的最优或者次最优快速算法；第三个部分是关于求解非线性滤波问题的直接法（Direct Method）的研究，即如何减少限制条件，将直接法推广到最一般的情形。.关于估计代数问题，我们通过对状态空间维数为3、线性秩为2的有限维估计代数的研究，证明了在估计代数的分类中扮演了重要角色的Wong 矩阵具有线性结构。在此工作的基础上，我们证明了：1）如果有限维估计代数中包含有二次函数，那么Wong 矩阵一定是常数矩阵；2）在1）的基础上我们证明了Mitter猜想，即有限维估计代数中的函数都是线性函数。对状态空间是3维，秩为1的情况，我们构造出具体实例说明Wong 矩阵并不一定是常数矩阵，同时我们也构造了一类有限维滤波。.关于次优滤波算法的研究，我们考虑用原状态的中心矩去扩展原状态得到较高维的新状态，推导出新状态的条件期望和条件协方差矩阵的发展方程，并应用卡尔曼方法（Carleman approach）到多项式滤波中得到次最优估计。.在关于直接法的研究中，我们提出了一个重要的算法：高斯逼近算法，利用这一算法我们可以将任意的分布分解为若干个高斯分布的和，这一算法在实际中有着广泛的应用。此外我们首先将传统的直接法推广到了时变的滤波系统，然后进一步研究了直接法，将其推广到了最一般的时变系统。

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