リーマン多様体上の最適化アルゴリズムおよびその数値線形代数への応用

黎曼流形优化算法及其在数值线性代数中的应用

基本信息

批准号：
13J05977
负责人：
佐藤寛之
金额：
$ 0.58万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2013
资助国家：
日本
起止时间：
2013 至无数据
项目状态：
已结题

项目摘要

ユークリッド空間における制約条件なしの最適化手法の一つである共役勾配法をリーマン多様体ヒに拡張し, 収束性の証明を行った, ユークリッド空間における共役勾配法では, 各反復において次の探索方向として, 最急降下方向と, 前回の探索方向にBを乗じたものの和を用いる. FletcherReevesのβを用いたアルゴリズムの多様体版の大域的収束性を調べるとともに, 収束性を高める工夫を加えた新しいアルゴリズムを提案した. この結果は論文"A new, globally convergent Riemannian conjugate gradient method"にて発表された.また, リーマン多様体上の最適化問題として定式化される具体的な応用問題として, 行列の固有値問題や特異値分解問題を扱った. 具体的には, 固有値問題をグラスマン多様体上の最適化問題として定式化し、その最適化アルゴリズムを導出することで, 固有値分解の新たなアルゴリズムを提案した, この結果は論文"Optimization algorithms on the Grassmann manifold with application to matrix eigenvalue problems"として発表した. また, 特異値分解については, 実行列の場合に2つのシュティーフェル多様体の積からなる多様体上の最適化問題として定式化して議論した研究代表者らの以前の論文を, 複素行列の場合に適用できるよう拡張し, 論文"A complex singular valuei decomposition algorithm based on the Riemannian Newton method"として発表した.当該年度では多様体上の一般的な最適化問題に対して新たな解法アルゴリズムを導出したり, 具体的な行列の問題に対する新たなアルゴリズムを導出し, 応用的な観点から有意義な成果が得られたと言える.

我们将欧几里德空间中无约束的优化方法——共轭梯度法扩展到黎曼流形，并证明了其收敛性。在欧几里德空间中的共轭梯度法中，每次迭代都确定下一个搜索方向，我们使用最速下降方向与先前搜索方向之和乘以 B。除了使用 FletcherReeves β 检查流形版本算法的全局收敛性之外，我们提出了一种改进的新算法来提高收敛性，其结果发表在论文“一种新的、全局收敛的黎曼共轭梯度法”中。作为具体的应用问题，我们处理了矩阵特征值问题和奇异值分解问题。将特征值问题表述为格拉斯曼流形上的优化问题，并推导了优化算法，我们提出了一种新的特征值分解算法，其结果发表在论文《Optimization Algorithm on the Grassmannavan with application to matrix eigenvalue issues》中。对于奇异值分解，在实数矩阵的情况下，两位 Stiefel 的研究负责人之前的论文被表述为由流形乘积组成的流形上的优化问题并进行了讨论，该论文被扩展到适用于复杂矩阵的情况，并发表了论文“一种复杂的奇异值分解算法”。今年我们针对流形上的一般优化问题推导了新的求解算法，针对具体的矩阵问题推导了新的算法，可以说从应用角度来说取得了重大成果。