分位点回帰モデルにおけるモデル選択規準に関する研究

分位数回归模型的模型选择标准研究

基本信息

批准号：
13J07978
负责人：
高梨耕作
金额：
$ 1.73万
依托单位：
Keio University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2013
资助国家：
日本
起止时间：
2013-04-01 至 2016-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本年度の成果は、Mosco位相による法則収束、法則の意味でのargmin収束、および無限次元の漸近正規性が得られたことである。本研究は、分位点回帰モデルにおけるモデル選択の、統計的損失の最小値達成を証明する。そのために、推定関数が凸であることを利用し、一様収束よりは弱いがargminの収束は保証する強さのMosco位相を使う。昨年度までの研究において、目的関数LADのMoscoトポロジーでの収束は、目的関数LADのレゾルベントの各点収束と同値である、ということがわかった。さらに、このレゾルベントの各点収束は、LADの劣微分作用素のグラフ収束と同値である。よって、LAD劣微分作用素の大数法則を示せば、Mosco収束を示したことになる。LAD劣微分作用素の大数法則は、ランダムセットの大数法則であるが、集合値となる事象は０集合である。よって、通常のヒルベルト空間での大数法則から導け、証明を完遂できた。これらは、推定量および最小損失の一致性の話題である。では、その漸近分布(法則収束)はどうなるであろうか？今年度はこれを求めることを目標にした。まず、Mosco位相での法則収束を定義した。推定関数が凸であり、パラメタ空間が可分ならば、Mosco位相はmetricを入れることができる。このmetricでBorel集合族をつくり、その上で法則収束を定義した。つぎに下半連続な凸関数に対し、弱位相でのargmin収束を示す。その上で、劣微分作用素に対し、中心極限定理をいう。劣微分作用素は多価写像であるが、その可測選択子に中心極限定理を適用する。そして、可測選択子全体の集合ともとの劣微分作用素は一致することを示した。よって、漸近正規性が出てくる。今年度はこれらの結果を得るための、数学的道具立ての整備に費やした。目標にしていた結果は概ね得られた。学術専門誌への投稿は今後の課題とするところである。

今年的成果是得到了Mosco拓扑的规律收敛性、规律意义上的argmin收敛性以及无限维渐近正态性。这项研究证明分位数回归模型中的模型选择可以实现最小的统计损失。为此，我们利用估计函数的凸性并使用 Mosco 相位，该相位比均匀收敛弱，但足以保证 argmin 的收敛。在我们去年的研究中，我们发现Mosco拓扑中目标函数LAD的收敛性相当于目标函数LAD解的各点的收敛性。此外，该求解器各点的收敛性等价于LAD的次微分算子的图收敛性。因此，如果我们展示 LAD 次微分算子的大数定律，我们就展示了 Mosco 收敛性。 LAD次微分算子的大数定律是随机集的大数定律，但成为设定值的事件数为0。因此，我们可以从普通希尔伯特空间中的大数定律推导出来并完成证明。这些是估计器和最小损失一致性的主题。那么，它的渐近分布（规律收敛）会发生什么变化呢？今年，我们设定了实现这一目标的目标。首先，我们定义了Mosco阶段的收敛律。如果估计函数是凸的并且参数空间是可分的，则Mosco拓扑可以是度量限制的。我们使用这个度量创建了一个 Borel 集族，并定义了它的收敛定律。接下来，我们展示下半连续凸函数的弱相 argmin 收敛性。最重要的是，我们说次微分算子的中心极限定理。次微分算子是一个多值映射，我们将中心极限定理应用于其可测选择器。然后我们证明所有可测量选择器的集合与原始的次微分算子是一致的。因此，渐近正态性出现。今年我们花了很多时间准备数学工具来获得这些结果。我们总体上达到了预期的结果。向学术期刊投稿将是未来的挑战。