連接層の導来圏における変形とBridgelandの安定性条件

连接层派生类别中的变形和 Bridgeland 稳定性条件

• 批准号: 22KJ0180
• 负责人: 尾関 諒介
• 金额: $ 1.41万
• 依托单位: Tohoku University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2023
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2023-03-08 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22KJ0180/
• 关键词: 球面随伴; ホモトピー

今年度は以下の２点について研究を行った．（１）正標数体上の代数多様体に由来する球面随伴の構成に向けた研究．三角圏に対して定義されるBridgelandの安定性条件の空間と，球面随伴と呼ばれる三角圏の間のある種の随伴との間には密接な関係があることが先行研究などで知られていることもあり，今年度は球面随伴の研究に注力した．現在までに知られている球面随伴の例はカラビ・ヤウ多様体や箙の表現に由来するものがほとんどで数論的対象に由来する例はまだ知られていない．今年度，ある条件下でフロベニウス写像に由来するl進層の導来圏上の自己関手を導入し，それが球面随伴を構成する関手と類似する性質を持つことを示した．（２）特性多項式の一般化対象に関する研究．線形代数などで馴染みのある特性多項式は近年発展の著しいホモトピー論においてTRトレースと呼ばれる巡回K理論から位相的制限ホモロジーへのスペクトラムの間の射として一般化されている．位相的制限ホモロジーの素数pに関する分解因子は，その０次ホモトピー群が（p典型）Witt環と呼ばれる数論的な対象に一致するなど数論的に重要な意味を持つが，このスペクトラムは球面随伴と似た性質を有している．今年度のはじめは値域をこの分解因子として持つようなTRトレースの分解を構成することを目指した．この構成に向けて今年度はいくつかの基礎道具を導入した．例えば，円周圏の素数pに関する部分圏を導入し，射の一意的な分解など通常の円周圏と類似の性質をこの部分圏が持つことを示した．

今年，我们主要做了以下两点研究。 (1)正特征域上代数簇导出的球伴随体的构造研究。之前的研究表明，三角形范畴定义的Bridgeland稳定条件的空间与三角形范畴之间的某种伴随关系（称为球伴随关系）有密切的关系，因此，今年我们重点研究球伴随关系。迄今为止已知的大多数球面伴随的例子都来自卡拉比-丘流形和箭袋表示，并且还没有来自算术对象的已知例子。今年，我们在一定条件下从Frobenius映射导出的l-adic滑轮的派生范畴上引入了自函子，并表明它具有与构成球面伴随函数的函子相似的性质。 (2)特征多项式广义对象的研究。线性代数中常见的特征多项式在近年来迅速发展的同伦理论中得到了推广，作为从循环K理论到拓扑受限同调谱之间的态射，称为TR迹。拓扑限制同调的素数 p 的分解因子在数论中具有重要意义，因为它的零阶同伦群与称为（p-典型）维特代数的算术对象一致，但该谱是球面的。与伴随词类似。今年年初，我们的目标是构建以范围作为分解因子的 TR 迹线分解。今年，我们推出了几种用于此配置的基本工具。例如，我们引入了一个关于外接圆范畴的素数p的子范畴，并表明该子范畴具有与普通外接范畴相似的性质，例如态射的唯一分解。