Mathematics and applications of discrete Sobolev inequalities

离散索博列夫不等式的数学和应用

基本信息

批准号：
22K03360
负责人：
永井敦
金额：
$ 2.58万
依托单位：
Tsuda University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2027-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

2022年度は各種グラフ上の離散ソボレフ不等式の導出、最良定数・最良ベクトルの計算、および工学への応用研究を行った。得られた研究成果は以下の通りである。(1) 完全グラフにおけるl^p 型離散ソボレフ不等式の最良定数：N次完全グラフにおける減衰定数ありと減衰定数なしの2通りのl^p型離散ソボレフ不等式を導出して、その最良定数を求めた。l^p型とは大まかにいうと、完全グラフの各頂点にu(i) という平衡位置からの変位を表す量を配置して、絶対値 |u(i)| の最大値をグラフの各辺上の差分 u(i)-u(j) の l^p ノルムの定数 C 倍で評価するものである。定数 C の最小値が最良定数である。過去の研究では、p=2の場合に最良定数の具体的な値をグリーン行列の再生核構造を調べることによって求めたが、今回はより一般的に p>0の場合にグリーン行列を用いない初等解析的な方法で求めた。本研究成果は現在1編の論文として執筆中である。(2) 筋交い問題への応用：平面格子状に筋交いを複数入れた場合の強度を、離散ソボレフ不等式の最良定数を計算することによって評価する、という研究を2021年度より行っている。本研究で1行n列(n=3,4,5,6)の格子に筋交いを入れた場合、同じ向きに入れるより互い違いに入れた方が強度が増すことを数学的に示した。具体的には筋交い入り格子をグラフと見たときの離散ラプラシアン行列を導出して、そのペンローズムーア一般化逆行列を数値計算した。最良定数は一般化逆行列の対角線値の最大値に等しく、最良定数の大小を比較することによって筋交い格子の強度を見積もった。本研究は1編の論文として、RIMS Kokyuroku Bessatsu に掲載された。

2022年，我们在各种图上推导了离散索博列夫不等式，计算了最佳常数和最佳向量，并进行了工程应用研究。得到的研究结果如下。 (1) 完全图中 l^p 型离散 Sobolev 不等式的最佳常数：在第 N 个完全图中推导两种类型的 l^p 型离散 Sobolev 不等式，一种带阻尼常数，一种不带阻尼常数画出图，并找出最佳常数。粗略地说，l^p类型是指在完全图的每个顶点处放置一个表示距平衡位置的位移的量，称为u(i)，其绝对值的最大值|u(i)|为通过常数 C 乘以边缘上差异 u(i)-u(j) 的 l^p 范数来评估。常数C的最小值为最佳常数。在过去的研究中，我们通过检查格林矩阵的再现核结构找到了当p=2时最佳常数的具体值，但是这次我们更一般地不使用当p>0时的格林矩阵。基本分析方法。这项研究的结果目前正在撰写为论文。（2）在支撑问题上的应用：自2021年以来，我们一直在进行研究，通过计算离散Sobolev不等式的最佳常数来评估平面网格中多个支撑的强度。在这项研究中，我们通过数学证明，当支架放置在 1 行 n 列（n = 3, 4, 5, 6）的网格中时，如果将它们交错放置而不是按方向放置，则强度会增加。相同的方向。具体来说，我们在将支撑网格视为图形时导出了离散拉普拉斯矩阵，并数值计算了其彭罗斯-摩尔广义逆矩阵。最佳常数等于广义逆矩阵的最大对角线值，通过比较最佳常数来估计支撑网格的强度。这项研究作为论文发表在 RIMS Kokyuroku Bessatsu 上。