数論的手法により構成されるフラクタル図形の幾何学的性質について

论用算术方法构造的分形图形的几何性质

• 批准号: 22K03329
• 负责人: 江居 宏美
• 金额: $ 1.33万
• 依托单位: Hirosaki University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2025-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03329/
• 关键词: フラクタル; 複素連分数展開; ベータ展開; substitution; タイル張り

本研究では、ベータ展開や複素連分数展開といった数論的手法により決まるフラクタル図形の境界を具体的に記述する方法を開発し、境界を解析することによりフラクタル次元や連結性といった幾何学的性質を調べることを研究目的としている。本目的を達成するために、当該年度に取り組んだ研究における主な実績は以下の通りである。（1）Hurwitz の nearest integer 型複素連分数展開によるフラクタル図形の境界の解析Hurwitz の nearest integer 型複素連分数展開により得られた3つのフラクタル図形の境界上の substitution ルール（集合方程式）を決定するために、それらをプロトタイルとするタイル張りを利用し、境界の自己相似性を調べることにより、その候補になるものを挙げた。これらのsubstitution ルールに対してコンピュータ実験を行ったところ、実際のフラクタル図形の境界に近い曲線が得られることが分かった。また、研究協力者（仲田均氏（慶応大）、夏井利恵氏（日本女子大））と進めている複素連分数展開に関する基礎研究において、Lakein による複素連分数展開についても、Hurwitz 型の場合と同様にフラクタル図形とタイル張りが得られることが明らかになった。（2）Pisot 数を基数とするベータ展開によるフラクタル図形とタイル張りの構成3 次 Pisot ユニットを固有値として持つ3次正方行列を選び、これらの行列を4つの場合に分類した。そのうち3つの場合について substitution（文字の置換規則）を決定し、Arnoux-伊藤の手法を拡張して Rauzy フラクタルとタイル張りを構成することができた。

在本研究中，我们开发了一种具体描述由β展开和复连分数展开等数论方法确定的分形图形的边界的方法，并通过分析边界来研究分形维数和连通性等几何性质。研究的目的。为实现这一目标，一年来开展的主要研究工作如下。 (1) Hurwitz最接近整数型复连分式展开的分形图形的边界分析为了确定由Hurwitz最接近整数型复连分式展开得到的三个分形图形的边界上的替换规则（集合方程），通过使用平铺使用这些作为原型并检查边界的自相似性，我们列出了可能的候选者。当我们使用这些替换规则进行计算机实验时，我们发现我们能够获得接近实际分形图形边界的曲线。此外，在我们与研究合作者（庆应义塾大学 Hitoshi Nakata 先生和日本女子大学 Rie Natsui 女士）进行的复连分式展开的基础研究中，我们也在研究复连分式展开的分形展开。很明显，获得了 Lakein 和 Hurwitz 类型的分数。 (2) 分形图形的构成以及以皮索数为基数的贝塔展开式的平铺 我们选择以三次皮索单位为特征值的三次方阵，并将这些矩阵分为四种情况。我们确定了其中三种情况的替换（字母替换规则），并且能够通过扩展 Arnoux-Ito 方法来构造 Rauzy 分形和平铺。