多様体に付随するリー超代数のホモロジー群研究

流形上李超代数的同调群研究

基本信息

批准号：
22K03306
负责人：
三上健太郎
金额：
$ 2.66万
依托单位：
Akita University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

リー超代数(Lie superalgebra)の典型例はスカウテン括弧積を備えた可微分多様体の接束(tangent bundle)の交代積(外積)の直和です。可微分多様体として最も自然な数空間を考え, 扱う接束と交代積は多項式係数のものに制限して double weight なるアイデアの元, doubly weighted chain complex そしてそのホモロジー群を考えました。2次以外のホモロジー群の Betti 数は Eulerベクトル場の効果で 0 である結果を得ていたが, 2次ホモロジー群についても Betti数が 0 になるとの証明を別途得ました。それが, 研究発表 [雑誌論文] の最初の論文 Mikami, Kentaro and Mizutani, Tadayoshi, "The second Betti number of doubly weighted homology groups of some pre Lie superalgebra", Tohoku Mathematical Journal, 74, 2022, 2, 301--311, https://doi.org/10.2748/tmj.20210208, eprint = 1902.09137 です。可微分多様体の余接束(cotangent bundle)の交代積の直和も外微分作用素を用いてリー超代数になる事を知り(cf. "Mikami, Kentaro and Mizutani, Tadayoshi", "Superalgebra structure on differential forms of manifold", arXiv:2105.09738, 2021), リー超代数のホモロジー群の基礎研究はすそ野が広がりました。リー超代数のホモロジー群の基礎研究と平行して応用を模索し, 一つの応用として4次元多様体のエンゲル構造をリー代数の場合に考察し, 掛かるリー代数が同型でない事をリー超代数ホモロジー群を使って判定出来たとの内容が, 研究発表 [雑誌論文] の二つ目の論文で "K. Mikami, T. Mizutani, and H. Sato, Application of superalgebra homology groups to distinguish Engel-like structures, arXiv{math.DG}, 2212.14495, 2022" としてarXiv に投稿し採択されました。

李超代数的一个典型例子是可微流形的切丛与 Schouten 括号积的交替积的直和。将最自然数空间视为可微流形，我们将切丛和交替积限制为多项式系数，并考虑双权、双权链复形及其同调群的思想。虽然由于欧拉向量场的影响，我们得到了二次以外的同调群的贝蒂数为0的结果，但我们另外得到了二次的同调群的贝蒂数也为0的证明。即研究报告中的第一篇论文[期刊文章] Mikami, Kentaro and Mizutani, Tadayoshi, “某些前李超代数的双加权同调群的第二 Betti 数”, 东北数学杂志, 74, 2022, 2, 301 - -311，https://doi.org/10.2748/tmj.20210208，eprint = 1902.09137。我了解到，可微流形的余切丛的交替积的直和也可以使用外微分算子变成李超代数（参见“Mikami，Kentaro和Mizutani，Tadayoshi”，“流形微分形式的超代数结构”，arXiv :2105.09738, 2021),李超代数同调群的基础研究范围不断扩大。在李超代数同调群的基础研究的同时，我们正在探索应用，作为一种应用，我们考虑李代数情况下四维流形的恩格尔结构，并研究这种李的非同构性研究报告[期刊文章]中的第二篇论文指出“K. Mikami、T. Mizutani 和 H. Sato，应用超代数同调群来区分”它以“Engel-like Structures, arXiv{math.DG}, 2212.14495, 2022”的形式提交给 arXiv 并被接受。