Value-distribution theory of zeta and multiple zeta functions

zeta 和多重 zeta 函数的值分布理论

基本信息

批准号：
22K03267
负责人：
松本耕二
金额：
$ 2.75万
依托单位：
Nagoya University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2027-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

今年度に主として研究が進んだのは、第一には保型形式に付随する対称積 L 関数の値分布に関して、レベルについての観点から、M 関数の理論構築への足掛かりを得たことである。とくに　symmetric square L 関数の場合には、Dirichlet L 関数の場合のかなり正確な類似というべき極限定理が成立することを自然な仮定のもとで証明できた。より一般の場合には、非常に特殊なテスト関数に対してしか証明することはできていないが、Granville-Soundararajan の手法を援用する新基軸を打ち出すことにより、新たな観点からの M 関数論への展望を与えたのではないか、と考える。近年、保型 L 関数に対する M 関数の理論は急展開を見せたが、本研究は（本研究プロジェクトの中では一段面ではあるが）当面の一区切りをつけた感があるかもしれない。次に Schur 多重ゼータ関数については、Giambelli 公式を適用することにより、Schur 多重ゼータ関数を Euler-Zagier タイプの多重ゼータ関数とそのスター類似を混合させたものにより表示する式や、ある種の一般化されたルート系のゼータ関数で表示する式を得た。これらは以前、anti-hook タイプの場合に得ていた定理の類似であり、skew タイプでもない場合に類似の式を得たことで、その意味がより明確になってくると考えられる。普遍性についても、離散的な場合の混合型の同時普遍性定理について、Hurwitz タイプだけであった、片方のゼータ関数のクラスがもっと一般化できるであろう、という可能性が判明し、研究の新しい方向性が見えてきている。

今年的主要研究进展是，第一，从层次角度构建了与自同构相关的对称乘积L函数的值分布的M函数理论。特别是，在对称平方 L 函数的情况下，我们能够在自然假设下证明极限定理成立，这是与狄利克雷 L 函数的情况相当准确的类比。在更一般的情况下，虽然我们只能针对一个非常具体的测试函数来证明它，但我们将从一个新的角度来研究 M 函数理论，通过建立一个利用 Granville-Soundararajan 方法的新轴，我认为这可能是这样。给了我们新的视角。近年来，自同构 L 函数的 M 函数理论取得了快速发展，但这项研究似乎暂时标志着一个突破（尽管它只是本研究项目中的一个步骤）。接下来，关于Schur多重zeta函数，通过应用Giambelli公式，我们可以创建一个公式，将Schur多重zeta函数表示为Euler-Zagier型多重zeta函数及其星形类似物的混合，或某种概括。我们得到了代表根系zeta函数的公式。这些与前面在反钩型情况下得到的定理类似，在非斜型情况下得到类似的公式，意义就会变得更清楚。关于普适性，我们发现离散情况下混合类型的同时普适性定理有可能使一类zeta函数（仅属于Hurwitz型）得到更一般化的可能性，这是我们研究的重要组成部分一个新的方向正在出现。