Einstein metrics and Ricci flow on singular spaces, and study of the Yamabe invariant

奇异空间上的爱因斯坦度量和利玛窦流以及山边不变量的研究

基本信息

批准号：
18H01117
负责人：
芥川一雄
金额：
$ 10.4万
依托单位：
Chuo University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
财政年份：
2018
资助国家：
日本
起止时间：
2018-04-01 至 2023-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

研究課題は特異多様体上の山辺計量およびそれを応用した山辺不変量の研究であった．得られた成果は，共同研究者のI.Mondelloとの下記の研究である：(1)　特異Einstein多様体として典型例であるedge-cone球面(S^n, h_a)を扱い，その上の山辺の問題を考えた．ここで，h_aはS^n上のedge-cone angleが2πaの標準定曲率1計量を表す．まず0 < a < 1の場合，小畠型の定理，すなわちh_aに共形的な定スカラー曲率計量は，(S^n, h_a)の特異集合S^{n-2}を保つS^nのある共形変換によるh_aの引き戻しとなることを示した．さらにa > 2の場合には，h_aに共形的なedge-cone山辺計量は存在しないことを示した．この非存在定理の証明には様々な結果が使われるが，特に特異空間上の被覆空間の山辺定数に関するAubinの補題と定スカラ―曲率特異計量に関する正則性定理という我々が開発した結果が使われる．この様な特異山辺計量の非存在定理は，先ずViaclovskyによってorbifoldの場合に得られたが，我々の例は2番目の例となる．彼の例は特異集合の次元が最小次元のゼロで，我々の例は特異集合の次元が最大次元のn-2となり，対照的な結果である．(2)　山辺計量・山辺不変量に関する諸問題を「幾何解析の問題」としてまとめ，RIMS Kokyurokuとして出版された．(3)　連携研究者の濱中氏と境界付きコンパクト多様体上のRicci flowの初期値問題とその幾何学的応用の研究で進展があった．

研究课题是奇异流形上的 Yamabe 度量及其在 Yamabe 不变量中的应用。得到的结果是与共同研究员I. Mondello的以下研究： (1) 对待边锥球体(S^n, h_a)，这是奇异爱因斯坦流形的典型例子，我思考了Yamabe问题。这里，h_a 表示 S^n 上边锥角为 2πa 的标准常曲率 1 度量。首先，当 0 < a < 1 时，小畑型定理，即与 h_a 共形的常标量曲率度量，表明 S^n 维持 (S^n, h_a ）我们证明了 h_a 是通过某种保角变换拉回来的。此外，我们还表明，当 a > 2 时，h_a 不存在共形边锥 Yamabe 度量。各种结果被用来证明这个不存在定理，但特别地，我们使用我们开发的结果：关于奇异空间上覆盖空间的 Yamabe 常数的 Aubin 引理和关于定标量曲率奇异度量的正则定理．这种奇异 Yamabe 度量的不存在定理首先由 Viaclovsky 在轨道折叠的情况下获得，我们的例子是第二个。在他的例子中，奇异集的维度是零，这是最小的维度，而在我们的例子中，奇异集的维度是n-2，这是最大的维度，这是一个对比的结果。 (2) 与 Yamabe 度量和 Yamabe 不变量有关的各种问题被总结为“几何分析问题”，并以 RIMS Kokyuroku 的形式出版。 (3) 与合作研究员Hamanaka先生在有界紧流形上的Ricci流初值问题及其几何应用方面的研究取得进展。