Ｒｉｇｉｄｉｔｙ　ｔｈｅｏｒｙの技術を用いたＩＩＩ型フォンノイマン環の研究

利用刚性理论技术研究III型冯诺依曼环

基本信息

批准号：
15J01338
负责人：
磯野優介
金额：
$ 3.99万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2015
资助国家：
日本
起止时间：
2015-04-24 至 2018-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

私はIII型というクラスのフォンノイマン環について研究している．III型フォンノイマン環は物理学で現れる自然なクラスの環であるが，その構造は極めて難解で，研究には多くの技術的困難が伴う．今年度は，自由量子群と呼ばれる量子群から作られるIII型フォンノイマン環について研究した．この量子群は，自由群に近い性質を持っており，非従順な量子群の最も重要な例とされている．私は今年度の研究で，自由量子群フォンノイマン環と任意のフォンノイマン環のテンソル積がCartan部分環を持たない事を示した．これは要するに，このテンソル積が群作用からは得られない，という事を意味する構造定理である．このような性質を満たすIII型フォンノイマン環の例はあまり知られていない．次に，III型フォンノイマン環とは直接関係ないが，基本群と呼ばれるフォンノイマン環の不変量について研究した．特に，どのような群が基本群として実現されるかという基本的な問題に着目した．これはMurrayとvon Neumannにより言及された古い問題である．私は今年度の研究で，そのようなクラスの群が満たす二つの一般的な性質を示した．具体的には積と共通部分で閉じる，すなわち，もしGとHが基本群として実現されていれば，GHと，GとHの共通部分はやはり基本群で実現される事を示した．これは（自明なものを除くと）初めて示された，このクラスが満たす一般的な性質である．証明には，テンソル積とその基本群に対する具体例の研究が本質的に役立った．

我正在研究一类称为 III 型的冯诺依曼代数。 III型冯诺依曼环是物理学中出现的一类自然环，但其结构极难理解，研究涉及许多技术困难。今年，我们研究了由称为自由量子群的量子群组成的 III 型冯诺依曼环。该量子群具有接近自由群的性质，被认为是非顺从量子群的最重要的例子。在我今年的研究中，我证明了自由量子群冯诺依曼环和任何冯诺依曼环的张量积不具有嘉当子环。这本质上是一个结构定理，意味着这个张量积不能从群作用中获得。满足此性质的 III 型冯诺依曼代数的例子并不多。接下来，虽然与 III 型冯诺依曼代数没有直接关系，但我研究了称为基本群的冯诺依曼代数的不变量。我们特别关注什么样的群可以实现为基本群这一根本问题。这是默里和冯·诺依曼提到的一个老问题。在今年的研究中，我证明了此类类满足的两个一般属性。具体来说，我们证明了它是由乘积和公共部分封闭的，也就是说，如果G和H被实现为基本群，那么GH以及G和H的公共部分也被基本群实现。这是该类满足的第一个一般性质（不包括明显的性质）。张量积及其基本群的具体例子的研究对于证明本质上是有用的。