複素射影平面上の直線配置と絡み目のミルナー不変量の研究

复射影平面上线排列和链接的Milner不变量研究

基本信息

批准号：
15F15732
负责人：
田中心
金额：
$ 1.47万
依托单位：
Tokyo Gakugei University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2015
资助国家：
日本
起止时间：
2015-10-09 至 2018-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本研究では，絡み目の不変量のアイデアを複素射影平面CP2内の直線配置の研究に応用して，直線配置の位相型を区別する新たな不変量を発見する事を目的とする．本年度は，主に次に上げる研究成果が得られた．これらの成果は，絡み目の不変量を応用した不変量を用いる事で得られた．（１）実射影変面内の直線配置に関して，図形的に計算可能な絡み数の構成に成功した．これまでの，絡み数は，その計算をコンピューターに依存しなければならない複雑なものばかりであった．ここで構成した絡み数は，計算が簡易であるというばかりでなく，これまで３例しか知られていなかったザリスキー対に加えて，新たに１０例のザリスキー対の構成に成功した．さらに，この結果は，今まで知られていなかった有理ザリスキー対の初めての例でもある．（２）直線配置の絡み数の研究を進め，k-アルタル曲線（k ∈ {3, 4, 5, 6}）に対してザリスキー対の存在を示した．（直線配置の研究においては，ザリスキー対と呼ばれる直線配置対の発見は，大変重要である．）（３）上で用いた絡み数は，Shimada k-pletと呼ばれる直線配置を区別する事を示した．これらの２つの論文の結果を通して，絡み数が区別する直線配置の特徴が明らかになった．２つ目の結果を得る為に，これまでの絡み数を，代数的・幾何的に再構築し，代数的な計算方法を備えた分離数と関連付けた．（４）基本群は，直線配置の組合せ的構造では，定まらない事を示した．これは，Falk氏とRandell氏の挙げた問題の解答を与えた事になる．また，ここで用いた証明は，Suciu氏の挙げた問題に否定的解答を与えた．

在本研究中，我们将链接不变量的思想应用于复射影平面CP2中线性配置的研究，旨在发现区分线性配置拓扑类型的新不变量。今年，我们主要取得了以下研究成果。这些结果是通过使用不变量获得的，该不变量是链接不变量的应用。 (1) 我们成功地构建了可以根据真实射影平面中的直线排列以图形方式计算的纠缠数。到目前为止，纠缠的数量一直很复杂，需要计算机来计算。这里构建的纠缠数不仅易于计算，而且除了之前已知的三个 Zariski 对之外，还成功构建了 10 个新的 Zariski 对。此外，这个结果是迄今为止未知的有理 Zariski 对的第一个例子。 (2)我们对线性构型中的纠缠数进行了研究，并证明了k-Alter曲线(k ∈ {3, 4, 5, 6})存在Zariski对。（在线性构型的研究中，称为Zarisky对的线性构型对的发现非常重要。）（3）上面使用的纠缠数表明可以区分称为Shimada k-plet的线性构型。通过这两篇论文的结果，阐明了以纠缠数区分的线性排列的特征。为了获得第二个结果，我们从代数和几何角度重构了传统的纠缠数，并将它们与具有代数计算方法的可分离数相关联。 (4)证明了基本群不是由线性排列的组合结构决定的。这为福尔克和兰德尔提出的问题提供了答案。另外，这里使用的证明对Suciu先生提出的问题给出了否定的答案。